Exercício 7. Determinar na reta \overleftrightarrow{A B} os pontos equidistantes dos eixos cartesianos, para A=(-1,5) e B=(4,-2).

Passo 1

O enunciado dá os pontos A=(-1,5) e B=(4,-2) e pede: determinar, na reta \overleftrightarrow{AB}, os pontos que são equidistantes dos eixos cartesianos.
Informações relevantes (retiradas do enunciado):
  • Coordenadas de A: (-1,5).
  • Coordenadas de B: (4,-2).
  • Distância de um ponto (x,y) ao eixo x é |y|.
  • Distância de um ponto (x,y) ao eixo y é |x|.
  • Portanto, um ponto é equidistante dos eixos cartesianos exatamente quando |x|=|y|.

Passo 2

Encontrar a equação da reta \overleftrightarrow{AB}.
A inclinação (coeficiente angular) da reta que passa por A e B é dada por
m=\frac{y_B-y_A}{x_B-x_A}.
Substituindo os valores:
m=\frac{-2-5}{4-(-1)}=\frac{-7}{5}=-\frac{7}{5}.
Usando a forma ponto-inclinação com o ponto A(-1,5):
y-5=-\frac{7}{5}(x+1).
Multiplicando por 5 para eliminar o denominador:
5(y-5)=-7(x+1).
Expandindo:
5y-25=-7x-7.
Rearranjando para uma forma mais limpa:
7x+5y-18=0.
Logo, a equação da reta \overleftrightarrow{AB} é
7x+5y-18=0.

Passo 3

Traduzir a condição “equidistante dos eixos” em equações sem valor absoluto.
A condição |x|=|y| é equivalente a dizer que ou y=x ou y=-x. (Porque se a magnitude de x é igual à magnitude de y, então ou eles têm o mesmo sinal e são iguais, ou têm sinais opostos e um é o negativo do outro.)
Assim, as interseções procuradas serão as interseções da reta 7x+5y-18=0 com as retas y=x e y=-x.

Passo 4

Interseção da reta com y=x.
Substituir y=x em 7x+5y-18=0:
7x+5x-18=0.
Somando os termos:
12x-18=0.
Isolando x:
12x=18 \quad\Rightarrow\quad x=\frac{18}{12}=\frac{3}{2}.
Como y=x, segue y=\frac{3}{2}. Portanto um ponto é \left(\frac{3}{2},\frac{3}{2}\right).

Passo 5

Interseção da reta com y=-x.
Substituir y=-x em 7x+5y-18=0:
7x+5(-x)-18=0.
Simplificando:
(7-5)x-18=0 \quad\Rightarrow\quad 2x-18=0.
Isolando x:
2x=18 \quad\Rightarrow\quad x=9.
Como y=-x, segue y=-9. Portanto o outro ponto é (9,-9).

Passo 6

Verificação rápida (confirmação de que as condições realmente se cumprem).
  • Para \left(\frac{3}{2},\frac{3}{2}\right): |x|= \left|\frac{3}{2}\right| = \left|\frac{3}{2}\right| = |y|, então está equidistante; e substituindo na equação da reta 7x+5y-18 obtemos 7\cdot\frac{3}{2}+5\cdot\frac{3}{2}-18= \frac{21+15}{2}-18=\frac{36}{2}-18=18-18=0, logo pertence à reta.
  • Para (9,-9): |x|=9=|y|, então está equidistante; e substituindo na equação da reta obtemos 7\cdot9+5\cdot(-9)-18=63-45-18=0, logo também pertence à reta.
Tudo confere.

Resposta

\left(\dfrac{3}{2},\dfrac{3}{2}\right)
(9,-9)

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