Exercício 7. Determinar na reta
os pontos equidistantes dos eixos cartesianos, para
e
.
Passo 1
O enunciado dá os pontos
e
e pede: determinar, na reta
, os pontos que são equidistantes dos eixos cartesianos.
Informações relevantes (retiradas do enunciado):
- Coordenadas de
: . - Coordenadas de
: . - Distância de um ponto
ao eixo é . - Distância de um ponto
ao eixo é . - Portanto, um ponto é equidistante dos eixos cartesianos exatamente quando
.
Passo 2
Encontrar a equação da reta
.
A inclinação (coeficiente angular) da reta que passa por
e
é dada por
Substituindo os valores:
Usando a forma ponto-inclinação com o ponto
:
Multiplicando por
para eliminar o denominador:
Expandindo:
Rearranjando para uma forma mais limpa:
Logo, a equação da reta
é
Passo 3
Traduzir a condição “equidistante dos eixos” em equações sem valor absoluto.
A condição
é equivalente a dizer que ou
ou
. (Porque se a magnitude de
é igual à magnitude de
, então ou eles têm o mesmo sinal e são iguais, ou têm sinais opostos e um é o negativo do outro.)
Assim, as interseções procuradas serão as interseções da reta
com as retas
e
.
Passo 4
Interseção da reta com
.
Substituir
em
:
Somando os termos:
Isolando
:
Como
, segue
. Portanto um ponto é
.
Passo 5
Interseção da reta com
.
Substituir
em
:
Simplificando:
Isolando
:
Como
, segue
. Portanto o outro ponto é
.
Passo 6
Verificação rápida (confirmação de que as condições realmente se cumprem).
- Para
: , então está equidistante; e substituindo na equação da reta obtemos , logo pertence à reta. - Para
: , então está equidistante; e substituindo na equação da reta obtemos , logo também pertence à reta.
Tudo confere.