Em cada um dos Problemas 13 a 18, encontre a Transformada de Laplace da função dada
f(t)=\left\{\begin{array}{rr}0, & t<1 \\\ t^{2}-2 t+2, & t \geq 1\end{array}\right.)

Passo 1

O enunciado pede a transformada de Laplace de
f(t)= \begin{cases} 0, & t<1,\\\ t^{2}-2t+2, & t\ge1. \end{cases}
O conteúdo é o uso da função de Heaviside u(t-1) e do teorema do atraso (shifting theorem) para Laplace.

Passo 2

Escrevemos f(t) em termos de u(t-1):
f(t) = \bigl(t^{2}-2t+2\bigr)\,u(t-1).

Passo 3

Pelo teorema do atraso, se g(t)=f(t+a) então
\mathcal{L}\{f(t)\,u(t-a)\}(s) = e^{-a s}\,\mathcal{L}\{g(t)\}(s).
Aqui a=1 e g(t)=f(t+1).

Passo 4

Definimos
g(t)=f(t+1) = (t+1)^{2} - 2(t+1) + 2.
Desenvolvendo:
(t+1)^{2} - 2(t+1) + 2 = t^{2} + 2t +1 -2t -2 +2 = t^{2} + 1.

Passo 5

Calculamos \mathcal{L}\{g(t)\}:
\mathcal{L}\{t^{2}\}(s) = \frac{2}{s^{3}}, \quad \mathcal{L}\{1\}(s) = \frac{1}{s},
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\mathcal{L}\{g(t)\}(s) = \frac{2}{s^{3}} + \frac{1}{s}.

Passo 6

Pela propriedade do atraso,
\mathcal{L}\{f(t)\}(s) = e^{-1\cdot s}\,\Bigl(\frac{2}{s^{3}} + \frac{1}{s}\Bigr).

Resposta

\mathcal{L}\{f(t)\}(s) = e^{-s}\,\biggl(\frac{2}{s^{3}} + \frac{1}{s}\biggr).

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