Em cada um dos Problemas de 23 a 25:
(a) Resolva a equação de Volterra dada usando a transformada de Laplace.
(b) Converta a equação integral a um problema de valor inicial, como no Problema 22(b).
(c) Resolva o problema de valor inicial do item (b) e verifique que a solução é a mesma obtida no item (a).
(a) Resolva a equação de Volterra dada usando a transformada de Laplace.
(b) Converta a equação integral a um problema de valor inicial, como no Problema 22(b).
(c) Resolva o problema de valor inicial do item (b) e verifique que a solução é a mesma obtida no item (a).
Passo 1
O enunciado dá a equação de Volterra
e pede:
(a) resolver por transformada de Laplace,
(b) converter em um problema de valor inicial,
(c) resolver o PVI e verificar que coincide com (a).
O conteúdo envolve transformada de Laplace de convolução e técnica de diferenciar a integral para obter um ODE com condições iniciais.
(a) resolver por transformada de Laplace,
(b) converter em um problema de valor inicial,
(c) resolver o PVI e verificar que coincide com (a).
O conteúdo envolve transformada de Laplace de convolução e técnica de diferenciar a integral para obter um ODE com condições iniciais.
Passo 2
Aplicando a transformada de Laplace em
em cada termo, usando
fica
Como
temos
Passo 3
Para converter em PVI, começamos por escrever a equação integral original e diferenciá-la em
.
Diferenciando uma vez:
Diferenciando de novo:
As condições iniciais vêm de
:
da integral original ,
da primeira derivada em ,
.
Logo o PVI é
da integral original
da primeira derivada em
Logo o PVI é
Passo 4
Resolvendo
, a solução geral é
Impondo
e
com
, obtemos
. Portanto
que coincide com o resultado do item (a).