Em cada um dos Problemas de 23 a 25:
(a) Resolva a equação de Volterra dada usando a transformada de Laplace.
(b) Converta a equação integral a um problema de valor inicial, como no Problema 22(b).
(c) Resolva o problema de valor inicial do item (b) e verifique que a solução é a mesma obtida no item (a).
\varphi(t)-\int_{0}^{1}(t-\xi) \varphi(\xi) d \xi=1

Passo 1

O enunciado dá a equação de Volterra
\varphi(t)\;-\;\int_{0}^{t}(t-\xi)\,\varphi(\xi)\,d\xi \;=\;1
e pede:
(a) resolver por transformada de Laplace,
(b) converter em um problema de valor inicial,
(c) resolver o PVI e verificar que coincide com (a).
O conteúdo envolve transformada de Laplace de convolução e técnica de diferenciar a integral para obter um ODE com condições iniciais.

Passo 2

Aplicando a transformada de Laplace em t em cada termo, usando
\mathcal{L}\{\varphi(t)\}=\Phi(s), \quad \mathcal{L}\Big\{\!\int_{0}^{t}(t-\xi)\varphi(\xi)d\xi\Big\} =\mathcal{L}\{t\}\,\Phi(s) =\frac{1}{s^2}\,\Phi(s), \quad \mathcal{L}\{1\}=\frac{1}{s},
fica
\Phi(s)\;-\;\frac{1}{s^2}\,\Phi(s)\;=\;\frac{1}{s} \;\Longrightarrow\; \Phi(s)\Bigl(1-\frac{1}{s^2}\Bigr)=\frac{1}{s} \;\Longrightarrow\; \Phi(s)=\frac{1}{s}\,\frac{s^2}{s^2-1} =\frac{s}{s^2-1}.
Como
\mathcal{L}\{\operatorname{cosh}(t)\}=\frac{s}{s^2-1},
temos
\varphi(t)=\operatorname{cosh}(t).

Passo 3

Para converter em PVI, começamos por escrever a equação integral original e diferenciá-la em t.
\varphi(t)-\int_{0}^{t}(t-\xi)\varphi(\xi)\,d\xi=1.
Diferenciando uma vez:
\varphi'(t)\;-\;\int_{0}^{t}\varphi(\xi)\,d\xi=0.
Diferenciando de novo:
\varphi''(t)-\varphi(t)=0.
As condições iniciais vêm de t=0:
da integral original \varphi(0)=1,
da primeira derivada em t=0, \varphi'(0)-\int_{0}^{0}\varphi=0\Rightarrow\varphi'(0)=0.
Logo o PVI é
\varphi''(t)-\varphi(t)=0,\quad \varphi(0)=1,\;\varphi'(0)=0.

Passo 4

Resolvendo \varphi''-\varphi=0, a solução geral é
\varphi(t)=A\,e^{t}+B\,e^{-t}.
Impondo \varphi(0)=A+B=1 e \varphi'(t)=A\,e^{t}-B\,e^{-t} com \varphi'(0)=A-B=0, obtemos A=B=\tfrac12. Portanto
\varphi(t)=\tfrac12e^{t}+\tfrac12e^{-t}=\operatorname{cosh}(t),
que coincide com o resultado do item (a).

Resposta

\displaystyle \varphi(t)=\operatorname{cosh}(t).

Exercícios relacionados