Em cada um dos Problemas 29 a 34, use o resultado do Problema 28 para encontrar a transformada de Laplace da função dada; a e b são constantes reais e n é uminteiro positivo:
f(t)=t^{n}

Passo 1

O enunciado pede para calcular a transformada de Laplace de f(t)=t^{n}, onde n é inteiro positivo. O conteúdo principal é usar a propriedade de diferenciação da transformada de Laplace no domínio de s.

Passo 2

Do Problema 28 sabemos que
\mathcal{L}\{1\} = \frac{1}{s}.

Passo 3

A propriedade de diferenciação diz que, se \mathcal{L}\{f(t)\}=F(s), então
\mathcal{L}\bigl\{t^{n}f(t)\bigr\} =(-1)^{n}\,\frac{d^{n}}{ds^{n}}\,F(s).

Passo 4

Aqui f(t)=1 e F(s)=1/s. Calculamos a derivada n-ésima de 1/s:
\frac{d^{n}}{ds^{n}}\Bigl(\frac{1}{s}\Bigr) =\frac{(-1)^{n}\,n!}{s^{\,n+1}}.
Aplicando a propriedade,
\mathcal{L}\{t^{n}\} =(-1)^{n}\,\frac{d^{n}}{ds^{n}}\Bigl(\frac{1}{s}\Bigr) =(-1)^{n}\,\frac{(-1)^{n}\,n!}{s^{\,n+1}} =\frac{n!}{s^{\,n+1}}.

Resposta

\mathcal{L}\{t^{n}\}=\frac{n!}{s^{\,n+1}}.

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