Determine a derivada direcional da função no ponto
dado na direção do vetor v.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a derivada direcional da função
no ponto
na direção do vetor
. Isso envolve conceitos de cálculo multivariável, especificamente derivadas parciais e vetores de direção.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é derivada direcional. Ela nos diz a taxa de variação da função em uma direção específica a partir de um ponto dado. Para calcular isso, usamos o gradiente da função e o vetor de direção.
Passo 3
Vamos calcular o gradiente da função
. O gradiente é um vetor das derivadas parciais de
em relação a cada variável:
Passo 4
Calculando as derivadas parciais:
Passo 5
Agora, vamos avaliar essas derivadas parciais no ponto
:
Então:
Passo 6
Calculando
:
Primeiro,
é a raiz cúbica de 36, que é aproximadamente 3.3019. Então:
Passo 7
Substituindo de volta:
Então, o gradiente no ponto
é aproximadamente:
Passo 8
Agora, precisamos normalizar o vetor
para obter o vetor de direção unitário
.
Calculamos o comprimento de
:
Então, o vetor unitário
é:
Passo 9
Finalmente, a derivada direcional
é o produto escalar do gradiente com o vetor unitário:
Calculando:
Resposta
A derivada direcional da função no ponto
na direção do vetor
é aproximadamente -0,6114.