Determine a derivada direcional da função no ponto P dado na direção do vetor v. f(x, y, z)=raiz[3]x y z, P(3,2,6), v=(-1,-2,-2)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a derivada direcional da função no ponto na direção do vetor . Isso envolve conceitos de cálculo multivariável, especificamente derivadas parciais e vetores de direção.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é derivada direcional. Ela nos diz a taxa de variação da função em uma direção específica a partir de um ponto dado. Para calcular isso, usamos o gradiente da função e o vetor de direção.

Passo 3

Vamos calcular o gradiente da função nabla f = ( partial fpartial x, partial fpartial y, partial fpartial z ) . O gradiente é um vetor das derivadas parciais de em relação a cada variável:

Passo 4

Calculando as derivadas parciais:

Passo 5

Agora, vamos avaliar essas derivadas parciais no ponto xyz = 3 times 2 times 6 = 36 :
Então:

Passo 6

Calculando 36^-2/3 = (36^1/3)^-2 approx (3.3019)^-2 approx 0.0917 :
Primeiro, é a raiz cúbica de 36, que é aproximadamente 3.3019. Então:

Passo 7

Substituindo de volta:
  1. nabla f(P) approx (0.3668, 0.5502, 0.1834)
Então, o gradiente no ponto é aproximadamente:

Passo 8

Agora, precisamos normalizar o vetor |v| = raiz(-1)^2 + (-2)^2 + (-2)^2 = raiz1 + 4 + 4 = raiz9 = 3 para obter o vetor de direção unitário u = ( -13, -23, -23 ) .
Calculamos o comprimento de :
Então, o vetor unitário é:

Passo 9

Finalmente, a derivada direcional Du f = nabla f(P) cdot u = (0.3668)(-1/3) + (0.5502)(-2/3) + (0.1834)(-2/3) é o produto escalar do gradiente com o vetor unitário:
Du f approx -0.1223 - 0.3668 - 0.1223 approx -0.6114
Calculando:

Resposta

A derivada direcional da função no ponto na direção do vetor é aproximadamente -0,6114.

Exercícios relacionados