Em cada um dos Problemas 1 a 6, determine o raio de convergência da série de potências dada.
sumn=0^infty 2^n x^n

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma série de potências que é sumn=0^infty 2^n x^n. Nosso objetivo aqui é descobrir qual é o raio de convergência dessa série. Isso significa encontrar até onde o valor de x pode variar para que a série some um valor finito. Para resolver isso, vamos usar o critério do limite, que ajuda bastante nessa tarefa.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como funciona o critério do limite (também conhecido como teste da razão). Esse critério nos diz que o raio de convergência R pode ser encontrado usando a seguinte fórmula:
R = 1limn to infty | an+1an |
Aqui, an são os coeficientes da série de potências. No nosso caso, an = 2^n .

Passo 3

Agora, vamos calcular esse limite. Substituindo an na fórmula, temos:
limn to infty | an+1an | = limn to infty | 2^n+12^n |
Simplificando a expressão dentro do limite:
| 2^n+12^n | = | 2 | = 2
Então, o limite é:
limn to infty 2 = 2

Passo 4

Com o valor do limite, podemos agora calcular o raio de convergência R :
R = 12

Resposta

O raio de convergência da série é R = dfrac12 .

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