Em cada um dos Problemas 1 a 6, determine o raio de convergência da série de potências dada.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem uma série de potências que é . Nosso objetivo aqui é descobrir qual é o raio de convergência dessa série. Isso significa encontrar até onde o valor de pode variar para que a série some um valor finito. Para resolver isso, vamos usar o critério do limite, que ajuda bastante nessa tarefa.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar como funciona o critério do limite (também conhecido como teste da razão). Esse critério nos diz que o raio de convergência pode ser encontrado usando a seguinte fórmula:
Aqui, an são os coeficientes da série de potências. No nosso caso, an = 2^n .
Passo 3
Agora, vamos calcular esse limite. Substituindo an na fórmula, temos:
limn to infty | an+1an | = limn to infty | 2^n+12^n |
Simplificando a expressão dentro do limite:
| 2^n+12^n | = | 2 | = 2
Então, o limite é:
limn to infty 2 = 2
Passo 4
Com o valor do limite, podemos agora calcular o raio de convergência R :