Determine o(s) valor(es) da constante k in R que tornam a função contínua em (-infty, infty). Esboce o gráfico da função resultante.
f(x)=l 3 x+7, se x <= 4 k x-1, se x>4

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. A gente tem uma função definida em partes:
f(x)=l 3 x+7, se x <= 4 k x-1, se x > 4
A pergunta é para encontrar o valor de k que faz essa função ser contínua em todo o intervalo dos números reais, ou seja, de -infty a +infty. Para isso, vamos precisar saber sobre continuidade de funções e limites.

Passo 2

Para que a função seja contínua em todos os lugares, especialmente no ponto onde a definição da função muda (no x = 4 ), os dois “lados” da função precisam se encontrar no mesmo valor. Isso significa que o valor da função quando x se aproxima de 4 por valores menores ou iguais deve ser igual ao valor quando x se aproxima de 4 por valores maiores.

Passo 3

Vamos calcular o valor da função pela primeira parte quando x = 4 :
f(4) = 3(4) + 7 = 12 + 7 = 19
Isso é o que a função dá quando usamos a parte 3x + 7 .

Passo 4

Agora, para a parte kx - 1 , queremos que quando x chega perto de 4 por valores maiores, o resultado também seja 19. Então, substituímos x por 4 na segunda parte:
k(4) - 1 = 19
4k - 1 = 19

Passo 5

Agora, vamos resolver essa equação para encontrar k :
4k - 1 = 19
4k = 19 + 1
4k = 20
k = 204
k = 5

Resposta

O valor de k que torna a função contínua em (-infty, infty) é k = 5 .

Exercícios relacionados