Em cada um dos Problemas 17 a 19, encontre a transformada de Laplace Y(s)=\mathcal{L}\left\{y\right\} da solução do problema de valor inicial dado.
y^{\prime \prime}+y=\left\{\begin{array}{ll}t, & 0 \leq t<1, \\\\ 2-t, & 1 \leq t<2, \\\\ 0, & 2 \leq t<\infty ;\end{array} \quad y(0)=0, \quad y^{\prime}(0)=0\right.

Passo 1

O enunciado pede a transformada de Laplace
\;Y(s)=\mathcal{L}\{y(t)\}\) da solução do problema de valor inicial \[y'' + y = f(t),\quad y(0)=0,\;y'(0)=0,
onde
f(t)= \begin{cases} t, &0\le t<1,\\\\ 2-t,&1\le t<2,\\\\ 0,&t\ge2.
O conteúdo é transformada de Laplace aplicada a equação diferencial e a força de excitação em trechos (função por partes). Vamos precisar de:
  1. aplicar \mathcal{L}\] à EDO com condições iniciais; 2. calcular \(\mathcal{L}\{f\} via integrais definidas;
    3. resolver para Y(s).

Passo 2

Aplicando \mathcal{L} em y''+y=f(t) e usando y(0)=0,\;y'(0)=0, obtemos
s^2Y(s)-s\,y(0)-y'(0)+Y(s)=F(s)
\Longrightarrow (s^2+1)\,Y(s)=F(s),
onde F(s)=\mathcal{L}\{f(t)\}. Logo
Y(s)=\frac{F(s)}{s^2+1}.

Passo 3

Para achar F(s) escrevemos
F(s)=\int_{0}^{1}t\,e^{-st}\,dt\;+\;\int_{1}^{2}(2-t)\,e^{-st}\,dt.

Passo 4

Calculemos
I_1=\int_{0}^{1}t\,e^{-st}\,dt.
Usando partes com u=t,\;dv=e^{-st}dt, vem
I_1 =\left.-\frac{t\,e^{-st}}{s}\right|_{0}^{1} +\int_{0}^{1}\frac{e^{-st}}{s}\,dt =-\frac{e^{-s}}{s}+\frac{1}{s}\int_{0}^{1}e^{-st}dt =-\frac{e^{-s}}{s}+\frac{1}{s}\,\frac{1-e^{-s}}{s} =\frac{1}{s^2}-e^{-s}\Bigl(\frac{1}{s}+\frac{1}{s^2}\Bigr).

Passo 5

Calculemos
I_2=\int_{1}^{2}(2-t)\,e^{-st}\,dt.
Façamos \tau=t-1, de modo que t=\tau+1, \tau\in[0,1] e 2-t=1-\tau. Então
I_2 =\int_{0}^{1}(1-\tau)e^{-s(\tau+1)}\,d\tau =e^{-s}\int_{0}^{1}(1-\tau)e^{-s\tau}\,d\tau.
Agora
\int_{0}^{1}(1-\tau)e^{-s\tau}\,d\tau =\frac{1}{s}-\frac{1}{s^2}+ \frac{e^{-s}}{s^2},
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I_2 =e^{-s}\Bigl(\frac{1}{s}-\frac{1}{s^2}+\frac{e^{-s}}{s^2}\Bigr) =\frac{e^{-s}}{s}-\frac{e^{-s}}{s^2}+\frac{e^{-2s}}{s^2}.

Passo 6

Somando I_1+I_2, obtemos
F(s) =\Bigl[\frac{1}{s^2}-e^{-s}\Bigl(\frac{1}{s}+\frac{1}{s^2}\Bigr)\Bigr] +\Bigl[\frac{e^{-s}}{s}-\frac{e^{-s}}{s^2}+\frac{e^{-2s}}{s^2}\Bigr] =\frac{1-2e^{-s}+e^{-2s}}{s^2}.

Passo 7

Finalmente,
Y(s)=\frac{F(s)}{s^2+1} =\frac{1-2e^{-s}+e^{-2s}}{s^2\,(s^2+1)}.

Resposta

Y(s)=\frac{1-2e^{-s}+e^{-2s}}{s^2\,(s^2+1)}.

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