Calcule a derivada de cada função abaixo:
f(x)=5 x^{2} \operatorname{cotg} x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a derivada da função
f(x)=5x^{2}\,\operatorname{cotg} x.
O conteúdo envolvido é a regra do produto e a derivada da função \operatorname{cotg} x, que sabemos ser
\frac{d}{dx}\bigl(\operatorname{cotg} x\bigr)=-\csc^{2}x.

Passo 2

Vamos aplicar a regra do produto a
f(x)=u(x)\,v(x),
onde u(x)=5x^{2} e v(x)=\operatorname{cotg} x. Primeiro calculamos as derivadas individuais:
u'(x)=\frac{d}{dx}\bigl(5x^{2}\bigr)=10x,
v'(x)=\frac{d}{dx}\bigl(\operatorname{cotg} x\bigr)=-\csc^{2}x.
Então, pela regra do produto,
f'(x)=u'(x)\,v(x)+u(x)\,v'(x).

Passo 3

Substituindo u, u', v e v' em
f'(x)=10x\cdot\operatorname{cotg} x+5x^{2}\cdot(-\csc^{2}x),
temos
f'(x)=10x\,\operatorname{cotg} x-5x^{2}\,\csc^{2}x.

Passo 4

Podemos, se quiser, fatorar o resultado:
f'(x)=5x\bigl(2\,\operatorname{cotg} x - x\,\csc^{2}x\bigr).

Resposta

f'(x)=10x\,\operatorname{cotg} x-5x^{2}\,\csc^{2}x.

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