Calcule a derivada de cada função abaixo:
f(x)=e^{x} \operatorname{cossec} x

Passo 1

O enunciado pede a derivada de
f(x)=e^{x}\,\operatorname{cossec}x,
que é um produto de duas funções: u(x)=e^{x} e v(x)=\operatorname{cossec}x. Vamos usar a regra do produto e as derivadas elementares de e^{x} e de \operatorname{cossec}x.

Passo 2

Aplicando a regra do produto, temos
f'(x)=u'(x)\,v(x)+u(x)\,v'(x).
Sabemos que
u'(x)=\frac{d}{dx}e^{x}=e^{x},
e
v'(x)=\frac{d}{dx}\bigl(\operatorname{cossec}x\bigr)=-\operatorname{cossec}x\;\cot x.
Logo,
f'(x)=e^{x}\,\operatorname{cossec}x+e^{x}\,\bigl(-\operatorname{cossec}x\;\cot x\bigr).

Passo 3

Fatorando e^{x}\,\operatorname{cossec}x, obtemos
f'(x) =e^{x}\,\operatorname{cossec}x\bigl(1-\cot x\bigr).

Resposta

f'(x)=e^{x}\,\operatorname{cossec}x\bigl(1-\cot x\bigr).

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