Considere um oligopólio produtor de bauxita formado por três firmas, denominadas por Firma 1, Firma 2 e Firma 3, com custos marginais de produção iguais a 150 \mathrm{R} \ / ton,250 \mathrm{R} $/ ton e 550\mathrm{R} $$ /ton, respectivamente. O preço deste produto no mercado é definido pela seguinte função inversa da demanda:
\pi=1.205-0,0027 d
onde \pi é o preço em \mathrm{R} \ / ton ed$ é a quantidade demandada em milhares de toneladas. Determine:
a) o equilíbrio do mercado (preços e quantidades);
b) calcule os excedentes.

Passo 1

O enunciado descreve um oligopólio de Cournot com três firmas produzindo bauxita. A curva inversa de demanda (preço em R$/ton vs quantidade em milhares de toneladas) é
P(Q)=1{,}205-0{,}0027\,Q,
onde Q=q_{1}+q_{2}+q_{3}. Os custos marginais são constantes e dados por
\,c_{1}=150, \,c_{2}=250, \,c_{3}=550 (todos em R$/ton).
Vamos encontrar o equilíbrio de Cournot (partes a) e b)).

Passo 2

Escrevemos a condição de resposta ótima de cada firma i:
\frac{\partial}{\partial q_{i}}\bigl[(P(Q)-c_{i})\,q_{i}\bigr]=0 \quad\Longrightarrow\quad P(Q)+q_{i}P'(Q)=c_{i}.
Como P'(Q)=-0{,}0027, isto dá
1{,}205-0{,}0027\,(q_{1}+q_{2}+q_{3}) \;-\;0{,}0027\,q_{i} \;=\;c_{i}.
Reescrevendo em forma linear, para cada i:
q_{i}+ \sum_{j\neq i}q_{j}= \dfrac{1{,}205 - c_{i}}{0{,}0027}.

Passo 3

Vamos checar se firma 3 produz:
Para i=3 temos
1{,}205-0{,}0027\,Q-0{,}0027\,q_{3}=550 \;\Longrightarrow\; q_{1}+q_{2}+2q_{3}=\frac{1{,}205-550}{0{,}0027}\approx242{,}59.
Se tentarmos resolver o sistema completo, achamos q_{3}<0, o que não faz sentido. Logo, no equilíbrio Cournot ficamos com q_{3}=0 (firma 3 não entra no mercado).

Passo 4

Restam as firmas 1 e 2. Suas condições passam a ser duas equações em q_{1},q_{2}:
\begin{cases} 2q_{1}+q_{2}=\dfrac{1{,}205-150}{0{,}0027}\approx390{,}74,\\[6pt] q_{1}+2q_{2}=\dfrac{1{,}205-250}{0{,}0027}\approx353{,}70. \end{cases}
Resolvendo:
q_{1}\approx142{,}59,\quad q_{2}\approx105{,}55,\quad q_{3}=0,\quad Q=248{,}15\\ (\text{mil t}).
O preço de mercado é
P=1{,}205-0{,}0027\cdot248{,}15\approx536\\ \text{R\$/ton}.]

Passo 5

Para calcular o excedente do consumidor, usamos a área de triângulo entre a interceptação da reta de demanda ( P_{\max}=1{,}205) e o preço de equilíbrio ( P=536), até Q=248{,}15:
\text{CS} =\tfrac12\,(1{,}205-536)\,\times248{,}15 \approx0{,}5\times669\times248{,}15 \approx83\,016{,}6 \quad(\text{milhões de R\$}\,).õ

Passo 6

O excedente do produtor em Cournot (lucro total) é
\sum_{i=1}^{2}(P-c_{i})\,q_{i} =(536-150)\cdot142{,}59+(536-250)\cdot105{,}55 \approx55\,029{,}9+30\,212{,}4 =85\,242{,}3 \quad(\text{milhões de R\$}\,).õ

Resposta

a) q_{1}\approx142{,}59, q_{2}\approx105{,}55, q_{3}=0 (mil t), Q\approx248{,}15 (mil t), P\approx536\\ \mathrm{R\$}/\text{ton}.
b) Excedente do Consumidor \approx83\,016{,}6 milhões de R$, Excedente do Produtor \approx85\,242{,}3 milhões de R$.

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