Considere um oligopólio produtor de bauxita formado por três firmas, denominadas por Firma 1, Firma 2 e Firma 3, com custos marginais de produção iguais a 150 \mathrm{R} \ /ton,250 \mathrm{R} $/ton e 550\mathrm{R} $$ /ton, respectivamente. O preço deste produto no mercado é definido pela seguinte função inversa da demanda: \pi=1.205-0,0027 d
onde \pi é o preço em \mathrm{R} \ /ton ed$ é a quantidade demandada em milhares de toneladas. Determine:
a) o equilíbrio do mercado (preços e quantidades);
b) calcule os excedentes.
Passo 1
O enunciado descreve um oligopólio de Cournot com três firmas produzindo bauxita. A curva inversa de demanda (preço em R$/ton vs quantidade em milhares de toneladas) é
P(Q)=1{,}205-0{,}0027\,Q,
onde Q=q_{1}+q_{2}+q_{3}. Os custos marginais são constantes e dados por \,c_{1}=150, \,c_{2}=250, \,c_{3}=550 (todos em R$/ton).
Vamos encontrar o equilíbrio de Cournot (partes a) e b)).
Passo 2
Escrevemos a condição de resposta ótima de cada firma i:
Se tentarmos resolver o sistema completo, achamos q_{3}<0, o que não faz sentido. Logo, no equilíbrio Cournot ficamos com q_{3}=0 (firma 3 não entra no mercado).
Passo 4
Restam as firmas 1 e 2. Suas condições passam a ser duas equações em q_{1},q_{2}:
Para calcular o excedente do consumidor, usamos a área de triângulo entre a interceptação da reta de demanda (P_{\max}=1{,}205) e o preço de equilíbrio (P=536), até Q=248{,}15:
\text{CS} =\tfrac12\,(1{,}205-536)\,\times248{,}15 \approx0{,}5\times669\times248{,}15 \approx83\,016{,}6 \quad(\text{milhões de R\$}\,).õ
Passo 6
O excedente do produtor em Cournot (lucro total) é
\sum_{i=1}^{2}(P-c_{i})\,q_{i} =(536-150)\cdot142{,}59+(536-250)\cdot105{,}55 \approx55\,029{,}9+30\,212{,}4 =85\,242{,}3 \quad(\text{milhões de R\$}\,).õ
Resposta
a) q_{1}\approx142{,}59, q_{2}\approx105{,}55, q_{3}=0 (mil t), Q\approx248{,}15 (mil t), P\approx536\\ \mathrm{R\$}/\text{ton}.
b) Excedente do Consumidor \approx83\,016{,}6 milhões de R$, Excedente do Produtor \approx85\,242{,}3 milhões de R$.