Em cada um dos Problemas 17 a 19, encontre a transformada de Laplace Y(s)=Ly da solução do problema de valor inicial dado. Será desenvolvido um método para determinar a transformada inversa na Seção 6.3. Você pode querer olhar os Problemas 16 a 18 na Seção 6.1.
y^prime prime+4 y=llt, & 0 <= t<1, 1, & 1 <= t<infty ; y(0)=0, y^prime(0)=0

Passo 1

O enunciado pede para usar transformada de Laplace no PVI
y''+4y=f(t), y(0)=0,;y'(0)=0,
onde
f(t)= t, & 0<= t<1, 1, & t>=1
Vamos escrever f(t) com degrau unitário, calcular sua transformada F(s), aplicar Laplace na EDO e isolar Y(s)=Ly.

Passo 2

Escrevemos
f(t)=tl(u(t)-u(t-1)r)+1cdot u(t-1)
Lt,(u(t)-u(t-1)) =integral0^1t,e^-st,dt,
Lu(t-1)=e^-s/s

Passo 3

Calculamos
integral0^1t,e^-st,dt =l[-t,e^-sts-e^-sts^2r]0^1 =1s^2-!e^-sl(1s+1s^2r)

Passo 4

Logo,
F(s)=1s^2-!e^-sl(1s+1s^2r) +e^-ss =1s^2-e^-ss^2

Passo 5

Tomando Laplace em y''+4y=f(t) com y(0)=y'(0)=0
(s^2+4),Y(s)=F(s) Longrightarrow Y(s)=F(s)s^2+4 =1s^2(s^2+4)-e^-ss^2(s^2+4)

Resposta

Y(s)=1s^2(s^2+4)-e^-ss^2(s^2+4)

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