Determine as derivadas parciais de 1 a ordem da função:
f(x, y)=cos ^2(3 x-y^2)

Passo 1

O enunciado pede as derivadas parciais de primeira ordem de
f(x,y)=cos^2l(3x - y^2r)
O conteúdo envolvido é derivada de função composta em duas variáveis, usando a regra da cadeia: se f(x,y)=hl(u(x,y)r), então
partial fpartial x = h'l(u(x,y)r),partial upartial x, partial fpartial y = h'l(u(x,y)r),partial upartial y
Aqui h(u)=cos^2(u) e u(x,y)=3x-y^2.

Passo 2

Vamos calcular partial f/partial x. Primeiro, derivada de h(u)=cos^2(u) em relação a u:
h'(u) =2cos(u),l(-sin(u)r) =-2cos(u)sin(u)
Em seguida, partial u/partial x =3. Então
partial fpartial x = h'(u),partial upartial x = -2cos(u)sin(u);times 3 = -6cos(u)sin(u)
Usando a identidade sin(2u)=2sin(u)cos(u), fica
partial fpartial x = -3,sinl(2ur) = -3,sinl(2(3x-y^2)r)

Passo 3

Agora partial f/partial y. Já sabemos h'(u)=-2cos(u)sin(u). E partial u/partial y = -2y. Logo
partial fpartial y = h'(u),partial upartial y = -2cos(u)sin(u);times(-2y) = 4y,cos(u)sin(u)
Aplicando de novo sin(2u)=2sin(u)cos(u), obtemos
partial fpartial y = 2y,sinl(2ur) = 2y,sinl(2(3x-y^2)r)

Resposta

partial fpartial x(x,y) = -3,sinl(2(3x-y^2)r), partial fpartial y(x,y) = 2y,sinl(2(3x-y^2)r)

Exercícios relacionados