Em cada um dos Problemas 18 a 22 , escreva a expressão dada como uma série cujo termo geral envolve x^n.
sumn=1^infty n an x^n-1+x sumn=0^infty an x^n

Passo 1

O enunciado pede que a gente transforme a soma de duas séries de potências
sumn=1^infty n,an,x^n-1 e xsumn=0^infty an,x^n
numa única série do tipo sumn=0^infty cn,x^n.

Passo 2

Reindexamos a primeira série para ter potências x^k. Em
sumn=1^infty n,an,x^n-1
faça k=n-1, ou seja n=k+1. Isso dá
sumk=0^infty (k+1),ak+1,x^k

Passo 3

Reindexamos a segunda série
xsumn=0^infty an,x^n =sumn=0^infty an,x^n+1
Agora defina k=n+1, ou seja n=k-1. Então
sumk=1^infty ak-1,x^k
Para unificar desde k=0, basta notar que se definirmos a-1=0, essa soma vale também
sumk=0^infty ak-1,x^k

Passo 4

Agora somamos termo a termo as duas séries em x^k. O coeficiente diante de x^k é
(k+1),ak+1 ;+; ak-1,
adotando a-1=0. Logo a expressão combinada é
sumk=0^inftyl((k+1),ak+1+ak-1r),x^k

Resposta

sumn=0^inftyl((n+1),an+1+an-1r),x^n, com a-1=0

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