Encontre uma parametrização para a curva que representa a interseção das superfícies:
(a) z=x^2+y^2 e 2 x-4 y-z-1=0
(b) z=raizx^2+y^2 e z=1+y
(c) z=y^2 e x+y=4

Passo 1

O enunciado pede para encontrar parametrizações das curvas definidas pela interseção de duas superfícies em cada item. O conteúdo que vamos usar envolve substituição de equações, identificação de formas geométricas (círculo, parábola, reta) e escolha de um parâmetro adequado para expressar (x,y,z) em função de t.

Passo 2

Para (a), as superfícies são
z = x^2 + y^2
e
2x - 4y - z - 1 = 0
Substituindo z=x^2+y^2 no plano:
x^2 + y^2 -2x +4y +1 = 0
Fazendo quadrados completos:
(x-1)^2 + (y+2)^2 -4 = 0 Longrightarrow (x-1)^2 + (y+2)^2 = 4,
que é um círculo de centro (1,-2) e raio 2. Logo, escolhemos
x = 1 + 2cos t, y = -2 + 2sin t
Para z basta usar z=x^2+y^2:
z = (1+2cos t)^2 + (-2+2sin t)^2

Passo 3

Para (b), igualamos
z = raizx^2+y^2 e z = 1+y,
obtendo raizx^2+y^2=1+y. Ao elevar ao quadrado:
x^2 + y^2 = (1+y)^2 = y^2 + 2y + 1 Longrightarrow x^2 = 2y + 1 Longrightarrow y = x^2 - 12
Como z = 1+y, parametrizamos por x = t:
x = t, y = t^2 - 12, z = 1 + t^2 - 12 = t^2 + 12

Passo 4

Para (c), a reta dá x + y = 4, ou seja x = 4 - y, e a outra superfície é z = y^2. Basta tomar y = t:
x = 4 - t, y = t, z = t^2

Resposta

(a) x = 1 + 2cos t,;y = -2 + 2sin t,;z = (1+2cos t)^2 + (-2+2sin t)^2, tin[0,2pi)
(b) x = t,;y = t^2 -12,;z = t^2 +12, tinR
(c) x = 4 - t,;y = t,;z = t^2, tinR

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