Calcule os limites
(a) lim t 0^+lang<=cos t, sin t, t ln trang<=
(b) lim t 0 e^t-1t i+raiz1+t-1t j+3t+1 k
(c) lim t inftylang<=arctg(t), e^-2 t, ln ttrang<=

Passo 1

O enunciado pede o cálculo dos limites de três funções vetoriais em pontos distintos. Vamos usar que o limite de um vetor é o vetor dos limites de cada componente, além de limites usuais de funções elementares (continuidade, racionalização e L’Hôpital).

Passo 2

Para o item (a), em tto0^+ temos:
limtto0^+cos t=1, limtto0^+sin t=0
A terceira componente é indeterminada 0cdot(-infty), então reescrevemos
limtto0^+tln t =limtto0^+ln t1/t
e, por L’Hôpital, obtemos 0. Portanto
limtto0^+lang<=cos t,sin t,tln trang<= =lang<=1,0,0rang<=

Passo 3

Para o item (b), em tto0 calculamos cada componente:
limtto0e^t-1t=1
Para a segunda, racionalizamos:
limtto0raiz1+t-1t =limtto0(raiz1+t-1)(raiz1+t+1)t(raiz1+t+1) =limtto0tt(raiz1+t+1) =12
A terceira componente é contínua em t=0, então
limtto03t+1=3
Logo
limtto0l(e^t-1t,i+raiz1+t-1t,j+3t+1,kr) =lang<=1,tfrac12,3rang<=

Passo 4

Para o item (c), em ttoinfty usamos limites clássicos:
limttoinftyarctan t=pi2, limttoinftye^-2t=0, limttoinftyln tt=0
Portanto
limttoinftylang<=arctan t,e^-2t,tfracln ttrang<= =lang<=pi2,0,0rang<=

Resposta

(a) lang<=1,0,0rang<=
(b) lang<=1,tfrac12,3rang<=
(c) lang<=tfracpi2,0,0rang<=

Exercícios relacionados