Em cada um dos Problemas 18 a 22, escreva a expressão dada como uma série cujo termo geral envolve x^n.
sumn=1^infty n an x^n-1+x sumn=0^infty an x^n

Passo 1

O enunciado nos dá a expressão
sumn=1^infty n,an,x^n-1 ;+; xsumn=0^infty an,x^n
e pede que a escrevamos como uma única série de potências com termo geral envolvendo x^n. O conteúdo aqui é manipulação de séries de potências por mudança de índice.

Passo 2

Reescrevemos a primeira soma mudando n-1=m. Quando n=1 temos m=0 e, à medida que ntoinfty, mtoinfty. Logo,
sumn=1^infty n,an,x^n-1 =summ=0^infty(m+1),am+1,x^m

Passo 3

Reescrevemos a segunda soma distribuindo o x e mudando n+1=m. Quando n=0 temos m=1 e, à medida que ntoinfty, mtoinfty. Logo,
xsumn=0^infty an,x^n =sumn=0^inftyan,x^n+1 =summ=1^inftyam-1,x^m

Passo 4

Agora somamos as duas séries em um único somatório. Para termos um índice comum n, escrevemos
summ=0^infty(m+1),am+1,x^m ;+; summ=1^inftyam-1,x^m = sumn=0^inftyl[(n+1),an+1+an-1r]x^n,
onde adotamos a-1=0 para que o termo de n=0 fique correto.

Resposta

sumn=0^inftyl[(n+1),an+1+an-1r],x^n

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