Considere as seguintes funções:
Sabemos que a função
g não é derivável. A função
G(x)=integral0^x g(t) d t ? é derivável?
Passo 1
O enunciado define a função
e pede para analisar a diferenciabilidade de
O conteúdo que vamos usar é o Teorema Fundamental do Cálculo, que diz que se
g for contínua num ponto
x , então
G é derivável em
x e
Passo 2
Verificamos a continuidade de
g em cada região:
- Para
,0<t<2 é contínua.g(t)=t - Para
,2<t<4 é contínua.g(t)=2 - No ponto
, o limite à esquerda ét=2
limtto2^-g(t)=2
e o limite à direita é
,limtto2^+g(t)=2
além de . Logo, não há salto eg(2)=2 é contínua emg .t=2
Passo 3
Como
g é contínua em todo o intervalo
[0,4] , o Teorema Fundamental do Cálculo garante que
G é derivável em cada
xin[0,4] (pelo menos no interior) e
Resposta
Sim. A função
G é derivável em todo ponto
x do intervalo considerado, com