Considere as seguintes funções:
f(t)=ll1 & se 0 <= t <= 2 3 & se 2<t <= 4 ; g(t)= t & se 0 <= t <= 2 2 & se 2<t <= 4
Sabemos que a função g não é derivável. A função G(x)=integral0^x g(t) d t ? é derivável?

Passo 1

O enunciado define a função
g(t)= t, &0<= t<=2, 2, &2<t<=4,
e pede para analisar a diferenciabilidade de
G(x)=integral0^xg(t),dt
O conteúdo que vamos usar é o Teorema Fundamental do Cálculo, que diz que se g for contínua num ponto x, então G é derivável em x e
G'(x)=g(x)

Passo 2

Verificamos a continuidade de g em cada região:
  • Para 0<t<2, g(t)=t é contínua.
  • Para 2<t<4, g(t)=2 é contínua.
  • No ponto t=2, o limite à esquerda é
    limtto2^-g(t)=2
    e o limite à direita é
    limtto2^+g(t)=2,
    além de g(2)=2. Logo, não há salto e g é contínua em t=2.

Passo 3

Como g é contínua em todo o intervalo [0,4], o Teorema Fundamental do Cálculo garante que G é derivável em cada xin[0,4] (pelo menos no interior) e
G'(x)=g(x)para todo xin[0,4]

Resposta

Sim. A função G é derivável em todo ponto x do intervalo considerado, com
G'(x)=g(x)

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