Calcule as seguintes integrais utilizando as primitivas que conhece e os métodos de substituição e partes:
integral(3 x^2-1) ln (x^2-1) d x.

Passo 1

O enunciado nos dá a integral
integral (3x^2-1),ln(x^2-1),dx
e pede para usar métodos de substituição e integração por partes. Vamos aplicar a fórmula de partes, que diz que para duas funções u e v temos
integral u,dv = u,v - integral v,du

Passo 2

Escolhemos
u = ln(x^2-1), dv = (3x^2-1),dx
Então calculamos
du = ddxl[ln(x^2-1)r],dx = 2xx^2-1,dx,
v = integral (3x^2-1),dx = x^3 - x

Passo 3

Aplicando a fórmula de partes:
integral (3x^2-1)ln(x^2-1),dx = (x^3-x),ln(x^2-1) - integral (x^3-x),2xx^2-1,dx

Passo 4

No segundo termo, simplificamos o integrando:
(x^3-x),2xx^2-1 = 2x^4-2x^2x^2-1 = 2x^2,
pois 2x^4-2x^2=2x^2(x^2-1). Logo
integral (x^3-x),2xx^2-1,dx = integral 2x^2,dx = 2x^33

Passo 5

Substituindo de volta, obtemos a antiderivada
integral (3x^2-1)ln(x^2-1),dx = (x^3-x),ln(x^2-1) - 2x^33 + C

Resposta

(x^3-x),ln(x^2-1) - 2x^33 + C

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