Considere as seguintes funções:
Sabemos que a função
f não é contínua. A função
F(x)=integral0^x f(t) d t ? é contínua?
Passo 1
O enunciado dá a função por partes
define
e pergunta se
F é contínua. O conteúdo aqui é a propriedade de continuidade da integral indefinida de uma função limitada.
Passo 2
Como
f é limitada em
[0,4] (valores entre
1 e
3 ) e integrável, o teorema de continuidade da integral diz que
é contínua em todo
[0,4] .
Passo 3
Para ver na prática, calculamos
F em cada ramo. Se
0<= x<=2 , então
Passo 4
Se
2<x<=4 , então
Passo 5
Verificamos continuidade em
x=2 pelos limites laterais:
e de fato
F(2)=2 . Logo não há salto em
2 e
F é contínua em todo
[0,4] .
Resposta
A função
F(x)=integral0^xf(t),dt é contínua em
[0,4] .