Considere as seguintes funções:
f(t)=ll1 & se 0 <= t <= 2 3 & se 2<t <= 4 ; g(t)= t & se 0 <= t <= 2 2 & se 2<t <= 4
Sabemos que a função f não é contínua. A função F(x)=integral0^x f(t) d t ? é contínua?

Passo 1

O enunciado dá a função por partes
f(t)= 1,&0<= t<=2, 3,&2<t<=4,
define
F(x)=integral0^xf(t),dt
e pergunta se F é contínua. O conteúdo aqui é a propriedade de continuidade da integral indefinida de uma função limitada.

Passo 2

Como f é limitada em [0,4] (valores entre 1 e 3) e integrável, o teorema de continuidade da integral diz que
F(x)=integral0^xf(t),dt
é contínua em todo [0,4].

Passo 3

Para ver na prática, calculamos F em cada ramo. Se 0<= x<=2, então
F(x)=integral0^x1,dt = x

Passo 4

Se 2<x<=4, então
F(x) =integral0^21,dt + integral2^x3,dt =2 + 3(x-2) =3x-4

Passo 5

Verificamos continuidade em x=2 pelos limites laterais:
limxto2^-F(x)=2, limxto2^+F(x)=3cdot2-4=2,
e de fato F(2)=2. Logo não há salto em 2 e F é contínua em todo [0,4].

Resposta

A função F(x)=integral0^xf(t),dt é contínua em [0,4].

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