Em cada um dos problemas de 20 a 28 use o método da variação de parâmetros para encontrar a solução geral da equação diferencial dada.
y^prime prime+9 y=9 sec ^2 3 t, 0<t<pi / 6

Passo 1

O enunciado pede a solução geral da equação diferencial
y'' + 9y = 9sec^2(3t), 0<t<pi6,
usando o método da variação de parâmetros. Trata-se de uma EDO linear de segunda ordem com coeficientes constantes. Vamos primeiro achar a solução geral da homogênea e depois usar variação de parâmetros para obter uma particular.

Passo 2

A equação homogênea associada é
y'' + 9y = 0
A equação característica é lambda^2+9=0, cujas raízes são lambda=pm 3i. Logo a solução geral homogênea é
yh = C1cos(3t) + C2sin(3t)

Passo 3

Tomando y1(t)=cos(3t) e y2(t)=sin(3t), calculamos o Wronskiano:
W(t) = cos(3t) & sin(3t) -3sin(3t) & 3cos(3t) = 3cos^2(3t)+3sin^2(3t) =3

Passo 4

Pelas fórmulas de variação de parâmetros, escrevemos a particular como
yp = u1(t),y1(t) + u2(t),y2(t),
onde
u1' = -y2(t),g(t)W(t), u2' = y1(t),g(t)W(t),
com g(t)=9sec^2(3t). Assim
u1' = -sin(3t),9sec^2(3t)3 = -3sin(3t)sec^2(3t) = -3tan(3t)sec(3t),
u2' = cos(3t),9sec^2(3t)3 = 3cos(3t)sec^2(3t) =3sec(3t)

Passo 5

Integramos para achar u1 e u2:
u1(t) = -integral 3tan(3t)sec(3t),dt
Fazendo w=sec(3t), dw=3sec(3t)tan(3t),dt, obtemos
u1(t) = -integral dw = -sec(3t)
E
u2(t) = integral 3sec(3t),dt = 3cdot13lnl|sec(3t)+tan(3t)r| = lnl|sec(3t)+tan(3t)r|

Passo 6

Então a solução particular é
yp = u1,cos(3t) + u2,sin(3t) = -sec(3t)cos(3t) + sin(3t),lnl|sec(3t)+tan(3t)r|
Observando que sec(3t)cos(3t)=1, fica
yp = -1 + sin(3t),lnl|sec(3t)+tan(3t)r|
Somando à homogênea, a solução geral é
y(t) = C1cos(3t) + C2sin(3t) - 1 + sin(3t),lnl(sec(3t)+tan(3t)r)

Resposta

boxedy(t) = C1cos(3t) + C2sin(3t) -1 + sin(3t),lnl(sec(3t)+tan(3t)r)

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