Em cada um dos problemas de 20 a 28 use o método da variação de parâmetros para encontrar a solução geral da equação diferencial dada.
y^prime prime+4 y=3 csc 2 t, 0<t<pi / 2

Passo 1

O enunciado pede a solução geral da equação diferencial de segunda ordem não homogênea
y''+4y=3csc(2t), 0<t<pi2,
usando o método da variação de parâmetros. Para isso precisamos: (i) achar a solução geral da equação homogênea associada, (ii) calcular o wronskiano das soluções fundamentais e (iii) montar as fórmulas de variação de parâmetros para obter uma solução particular.

Passo 2

Resolvendo a parte homogênea
y''+4y=0
temos a equação característica r^2+4=0 com raízes r=pm2i. Portanto as soluções fundamentais são
y1(t)=cos(2t), y2(t)=sin(2t),
e a solução geral homogênea é
yh(t)=C1cos(2t)+C2sin(2t)

Passo 3

Calculamos o wronskiano de y1,y2:
W(t)= cos(2t)&sin(2t) -2sin(2t)&2cos(2t) =2cos^2(2t)+2sin^2(2t)=2

Passo 4

Aplicamos as fórmulas de variação de parâmetros com f(t)=3csc(2t):
u1'=-y2,fW =-sin(2t)cdot3csc(2t)2 =-32, u2'=y1,fW =cos(2t)cdot3csc(2t)2 =32cot(2t)
Integrando,
u1(t)=integral -32,dt=-32,t, u2(t)=integral32cot(2t),dt =32cdot12lnl(sin(2t)r) =34lnl(sin(2t)r)

Passo 5

A solução particular vem de
yp=u1,y1+u2,y2 =-32tcos(2t) +34lnl(sin(2t)r)sin(2t)
Logo a solução geral da equação original é
y(t)=yh(t)+yp(t) =C1cos(2t)+C2sin(2t) -32tcos(2t) +34sin(2t)lnl(sin(2t)r)

Resposta

boxedy(t)=C1cos(2t)+C2sin(2t) -32tcos(2t) +34sin(2t)lnl(sin(2t)r)

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