Em cada um dos problemas de 20 a 28 use o método da variação de parâmetros para encontrar a solução geral da equação diferencial dada.
y^prime prime-2 y^prime+y=e^t1+t^2

Passo 1

O enunciado pede a solução geral da equação diferencial
y'' - 2y' + y = e^t1 + t^2
usando o método da variação de parâmetros. Vamos precisar primeiro da solução geral da homogênea associada e depois aplicar as fórmulas de variação de parâmetros para achar uma solução particular.

Passo 2

Resolvendo a homogênea
y'' - 2y' + y = 0
temos a equação característica
r^2 - 2r + 1 = 0 Longrightarrow (r - 1)^2=0,
que dá raiz dupla r=1. Logo uma base de soluções é
y1(t)=e^t, y2(t)=t,e^t,
e a solução geral da homogênea é
yh(t)=C1e^t+C2,t,e^t

Passo 3

Para variação de parâmetros usamos as fórmulas
u1' = -y2,fW, u2' = y1,fW,
onde f(t)=dfrace^t1+t^2 e o Wronskiano é
W(t)= y1 & y2 [6pt] y1' & y2' = e^t & t,e^t [3pt] e^t & (1+t)e^t = e^2tl((1+t)-tr)=e^2t
Então
u1' = -t,e^t,l(e^t/(1+t^2)r)e^2t = -t1+t^2, nu2' = e^t,l(e^t/(1+t^2)r)e^2t = 11+t^2 ]

Passo 4

Integramos para obter u1 e u2:
u1(t) = -integral t1+t^2,dt = -12lnl(1+t^2r), u2(t) = integral 11+t^2,dt = arctan t

Passo 5

A solução particular é
yp(t)=u1(t),y1(t)+u2(t),y2(t) = -tfrac12lnl(1+t^2r),e^t + (arctan t),t,e^t
Assim a solução geral da não-homogênea é
y(t)=yh(t)+yp(t) = C1e^t+C2,t,e^t +e^tl(-tfrac12ln(1+t^2)+t,arctan tr)

Resposta

y(t)=e^tl(C1+C2,t-tfrac12ln(1+t^2)+t,arctan tr)

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