Enontre o raio e o intervalo de convergência da série:
Passo 1
O enunciado pede o raio de convergência e o intervalo de convergência da série de potências
O conteúdo aqui é convergência de séries de potências centradas em zero. Vamos usar o teste da razão para achar o raio e, depois, examinar separadamente os pontos de fronteira .
Passo 2
Aplicamos o teste da razão à série com . Calculamos
Pelo teste da razão, a série converge absolutamente se |x|<1 e diverge se |x|>1.
Passo 3
Do resultado anterior concluímos que o raio de convergência é
R = 1
Passo 4
Em ,x=1 a série fica
sumn=0^infty(-1)^n1^nn+1 =sumn=0^infty(-1)^n1n+1
Como 1n+1 é decrescente para n>=0 e tende a zero, o critério de Leibniz garante convergência condicional nesse ponto.
Passo 5
Em ,x=-1 a série vira
sumn=0^infty(-1)^n(-1)^nn+1 =sumn=0^infty1n+1,
que é a série harmônica e diverge.
Passo 6
Portanto, o intervalo de convergência é
-1 < x <= 1
Resposta
O raio de convergência é 1 e o intervalo de convergência é (-1,1].