Enontre o raio e o intervalo de convergência da série:
sumn=0^infty(-1)^n x^nn+1

Passo 1

O enunciado pede o raio de convergência e o intervalo de convergência da série de potências
sumn=0^infty(-1)^n,x^nn+1
O conteúdo aqui é convergência de séries de potências centradas em zero. Vamos usar o teste da razão para achar o raio e, depois, examinar separadamente os pontos de fronteira ,x=pm1.

Passo 2

Aplicamos o teste da razão à série sum an x^n com an = (-1)^n/(n+1). Calculamos
limntoinfty|an+1x^,n+1an x^n| =limntoinfty|(-1)^n+1n+2,x^,n+1;cdot;n+1(-1)^n x^n| =limntoinfty|x|,(n+1)n+2 =|x|
Pelo teste da razão, a série converge absolutamente se |x|<1 e diverge se |x|>1.

Passo 3

Do resultado anterior concluímos que o raio de convergência é
R = 1

Passo 4

Em ,x=1 a série fica
sumn=0^infty(-1)^n1^nn+1 =sumn=0^infty(-1)^n1n+1
Como 1n+1 é decrescente para n>=0 e tende a zero, o critério de Leibniz garante convergência condicional nesse ponto.

Passo 5

Em ,x=-1 a série vira
sumn=0^infty(-1)^n(-1)^nn+1 =sumn=0^infty1n+1,
que é a série harmônica e diverge.

Passo 6

Portanto, o intervalo de convergência é
-1 < x <= 1

Resposta

O raio de convergência é 1 e o intervalo de convergência é (-1,1].

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