Desenhe um campo de direções para a equação diferencial dada.
Baseado em uma análise do campo de direções, descreva o comportamento das soluções para valores grandes de
.
Encontre a solução geral da equação diferencial dada e use-a para determinar o comportamento das soluções quando
.
Baseado em uma análise do campo de direções, descreva o comportamento das soluções para valores grandes de
Encontre a solução geral da equação diferencial dada e use-a para determinar o comportamento das soluções quando
Passo 1
O enunciado nos dá a EDO linear de primeira ordem
com condição inicial
.
Conteúdo: campo de direções e resolução de EDO linear usando fator integrante. Vamos (i) esboçar qualitativamente o campo de direções, (ii) prever o comportamento para , (iii) resolver a EDO e (iv) confirmar o comportamento assintótico.
Conteúdo: campo de direções e resolução de EDO linear usando fator integrante. Vamos (i) esboçar qualitativamente o campo de direções, (ii) prever o comportamento para
Passo 2
Em cada ponto
, a inclinação do campo é
Para visualizar:
- Quando
, o termo tende a deixar as setas apontando para baixo. - Quando
, as setas apontam para cima. - O fator
tem máximo em e decresce para zero quando . - Para
grande, e , isto é, as setas alinham-se quase paralelas às soluções de .
Passo 3
Da análise do campo de direções, como o termo forçado
tende a zero para
, o comportamento assintótico de todas as soluções aproxima-se do da EDO homogênea
cuja solução decresce exponencialmente a zero. Logo esperamos que
quando
.
Passo 4
Para resolver
calculamos o fator integrante
Multiplicando a EDO por
:
Integramos em
:
Passo 5
Impondo
:
Logo a solução particular é
Passo 6
Analisando para
:
logo
confirmando o previsto pelo campo de direções.
Resposta
A solução geral é
Com
,
Para
,
.