Desenhe um campo de direções para a equação diferencial dada.
Baseado em uma análise do campo de direções, descreva o comportamento das soluções para valores grandes de t.
Encontre a solução geral da equação diferencial dada e use-a para determinar o comportamento das soluções quando t \rightarrow \infty.
y^{\prime}+2 y=t e^{-2 t}, \quad y(1)=0

Passo 1

O enunciado nos dá a EDO linear de primeira ordem
y' + 2y = t\,e^{-2t}
com condição inicial y(1)=0.
Conteúdo: campo de direções e resolução de EDO linear usando fator integrante. Vamos (i) esboçar qualitativamente o campo de direções, (ii) prever o comportamento para t\to\infty, (iii) resolver a EDO e (iv) confirmar o comportamento assintótico.

Passo 2

Em cada ponto (t,y), a inclinação do campo é
m(t,y)=y'=t\,e^{-2t}-2y.
Para visualizar:
  • Quando y>0, o termo -2y tende a deixar as setas apontando para baixo.
  • Quando y<0, as setas apontam para cima.
  • O fator t\,e^{-2t} tem máximo em t=\tfrac12 e decresce para zero quando t\to\infty.
  • Para t grande, t\,e^{-2t}\approx0 e y'\approx-2y, isto é, as setas alinham-se quase paralelas às soluções de y'=-2y.

Passo 3

Da análise do campo de direções, como o termo forçado t\,e^{-2t} tende a zero para t\to\infty, o comportamento assintótico de todas as soluções aproxima-se do da EDO homogênea
y' + 2y = 0,
cuja solução decresce exponencialmente a zero. Logo esperamos que y(t)\to0 quando t\to\infty.

Passo 4

Para resolver
y' + 2y = t\,e^{-2t},
calculamos o fator integrante
\mu(t)=e^{\int 2\,dt}=e^{2t}.
Multiplicando a EDO por \mu(t):
e^{2t}y' + 2e^{2t}y = t \quad\Longrightarrow\quad \frac{d}{dt}\bigl(e^{2t}y\bigr)=t.
Integramos em t:
e^{2t}y = \int t\,dt = \frac{t^2}{2} + C \quad\Longrightarrow\quad y(t) = e^{-2t}\Bigl(\frac{t^2}{2} + C\Bigr).

Passo 5

Impondo y(1)=0:
0 = y(1) = e^{-2}\Bigl(\tfrac{1^2}{2} + C\Bigr) \;\Longrightarrow\; C = -\tfrac12.
Logo a solução particular é
y(t) = e^{-2t}\Bigl(\frac{t^2}{2} - \frac12\Bigr) = \frac{1}{2}(t^2 - 1)\,e^{-2t}.

Passo 6

Analisando para t\to\infty:
y(t) = \tfrac12\,(t^2-1)e^{-2t} \quad\Longrightarrow\quad t^2\,e^{-2t}\to0,
logo
\lim_{t\to\infty}y(t)=0,
confirmando o previsto pelo campo de direções.

Resposta

A solução geral é
y(t) = e^{-2t}\Bigl(\tfrac{t^2}{2} + C\Bigr).
Com y(1)=0,
y(t) = \tfrac12\,(t^2 - 1)\,e^{-2t}.
Para t\to\infty, y(t)\to0.

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