Desenhe um campo de direções para a equação diferencial dada.
Baseado em uma análise do campo de direções, descreva o comportamento das soluções para valores grandes de
.
Encontre a solução geral da equação diferencial dada e use-a para determinar o comportamento das soluções quando
.
Baseado em uma análise do campo de direções, descreva o comportamento das soluções para valores grandes de
Encontre a solução geral da equação diferencial dada e use-a para determinar o comportamento das soluções quando
Passo 1
O enunciado pede três coisas para a equação diferencial linear de primeira ordem
- desenhar o campo de direções,
- descrever pelo campo de direções o comportamento das soluções para
grande, - encontrar a solução geral e usar seu limite quando
.
Passo 2
O campo de direções é dado em cada ponto
pela inclinação
Para traçar o campo, em cada retículo de pontos compute-se
e desenha-se um pequeno segmento de reta com essa inclinação. Por exemplo, em
grande,
domina e as setas apontam para cima, muito inclinadas; para
negativo e
pequeno,
pode ser negativo ou positivo conforme o valor de
.
Passo 3
Analisando qualitativamente, para
grande o termo
cresce muito rápido, de modo que
logo todas as soluções sobem muito rápido conforme
aumenta.
Passo 4
Para resolver de fato, usamos fator integrante
. Multiplicando a equação original por
obtemos
ou seja
Agora integramos em
:
Fazendo integração por partes,
Logo
Passo 5
Aplicando a condição inicial
:
Portanto a solução particular é
Passo 6
Para
, o termo
domina, pois cresce como
enquanto
cresce muito mais lentamente. Logo
Resposta
A solução geral satisfaz a condição
é
e conforme
,
, crescendo aproximadamente como
.