Desenhe um campo de direções para a equação diferencial dada.
Baseado em uma análise do campo de direções, descreva o comportamento das soluções para valores grandes de t.
Encontre a solução geral da equação diferencial dada e use-a para determinar o comportamento das soluções quando t \rightarrow \infty.
y^{\prime}-y=2 t e^{2 t}, \quad y(0)=1

Passo 1

O enunciado pede três coisas para a equação diferencial linear de primeira ordem
y' - y = 2\,t\,e^{2t},\quad y(0)=1:
  1. desenhar o campo de direções,
  2. descrever pelo campo de direções o comportamento das soluções para t grande,
  3. encontrar a solução geral e usar seu limite quando t\to\infty.

Passo 2

O campo de direções é dado em cada ponto (t,y) pela inclinação
y' = y + 2\,t\,e^{2t}.
Para traçar o campo, em cada retículo de pontos compute-se y' e desenha-se um pequeno segmento de reta com essa inclinação. Por exemplo, em t grande, 2t\,e^{2t} domina e as setas apontam para cima, muito inclinadas; para t negativo e y pequeno, y' pode ser negativo ou positivo conforme o valor de y.

Passo 3

Analisando qualitativamente, para t grande o termo 2\,t\,e^{2t} cresce muito rápido, de modo que
y'\approx 2\,t\,e^{2t}\gg0,
logo todas as soluções sobem muito rápido conforme t aumenta.

Passo 4

Para resolver de fato, usamos fator integrante \mu(t)=e^{-t}. Multiplicando a equação original por e^{-t} obtemos
e^{-t}y' - e^{-t}y = 2\,t\,e^{2t}e^{-t} = 2\,t\,e^{t},
ou seja
\bigl(e^{-t}y\bigr)' = 2\,t\,e^{t}.
Agora integramos em t:
e^{-t}y = \int 2\,t\,e^{t}\,dt.
Fazendo integração por partes,
\int 2\,t\,e^{t}\,dt = 2\,t\,e^{t} - \int 2\,e^{t}\,dt =2\,(t-1)\,e^{t} + C.
Logo
e^{-t}y = 2\,(t-1)\,e^{t} + C \quad\Longrightarrow\quad y = 2\,(t-1)\,e^{2t} + C\,e^{t}.

Passo 5

Aplicando a condição inicial y(0)=1:
y(0) = 2\,(0-1)\,e^{0} + C\,e^{0} = -2 + C = 1 \quad\Longrightarrow\quad C = 3.
Portanto a solução particular é
y(t) = 2\,(t-1)\,e^{2t} + 3\,e^{t}.

Passo 6

Para t\to\infty, o termo 2\,(t-1)e^{2t} domina, pois cresce como t\,e^{2t} enquanto 3e^{t} cresce muito mais lentamente. Logo
y(t)\sim 2\,t\,e^{2t}\to +\infty.

Resposta

A solução geral satisfaz a condição y(0)=1 é
y(t) = 2\,(t-1)\,e^{2t} + 3\,e^{t},
e conforme t\to\infty, y(t)\to+\infty, crescendo aproximadamente como 2\,t\,e^{2t}.

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