exercício: Resolva O PVI
\left\{\begin{array}{l}y^{\prime}-2 y=0 \\\ y(0)=2\end{array}\right.

Passo 1

O enunciado fornece o problema de valor inicial
\begin{cases} y' - 2y = 0, \\[6pt] y(0) = 2, \end{cases}
que é uma equação diferencial linear de primeira ordem homogênea com coeficiente constante. Vamos resolver por separação de variáveis.]

Passo 2

Reescrevendo a equação como
\displaystyle \frac{dy}{dx} = 2y,
separamos variáveis:
\displaystyle \frac{1}{y}\,dy = 2\,dx.
Integrando ambos os lados, obtemos
\int \frac{1}{y}\,dy = \int 2\,dx
que leva a
\displaystyle \ln\lvert y\rvert = 2x + C_1.
Aplicando a exponenciação, a solução geral é
y(x) = C e^{2x},
onde C = e^{C_1}.

Passo 3

Usamos a condição inicial y(0)=2:
y(0) = C e^{0} = C = 2.
Logo, a constante vale C=2 e a solução particular é
y(x) = 2e^{2x}.

Resposta

y(x) = 2e^{2x}.

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