exercício: Resolva O PVI
\left\{\begin{array}{l}y^{\prime}-4 x y=0 \\\ y(0)=2\end{array}\right.

Passo 1

O enunciado pede para resolver o PVI
\begin{cases} y' - 4x\,y = 0,\\\ y(0)=2. \end{cases}
Isso é uma equação de 1ª ordem linear homogênea que, como não há termo independente em y, também é separável.

Passo 2

Reescrevemos a equação de modo a separar y e x:
y' = 4x\,y \quad\Longrightarrow\quad \frac{dy}{dx} = 4x\,y \quad\Longrightarrow\quad \frac{1}{y}\,dy = 4x\,dx.

Passo 3

Integramos ambos os lados:
\int \frac{1}{y}\,dy = \int 4x\,dx
\ln|y| = 2x^2 + C,
onde C é a constante de integração.

Passo 4

Para isolar y, exponenciamos:
|y| = e^{2x^2 + C} = e^C\,e^{2x^2}.
Como podemos absorver o sinal em e^C, escrevemos
y = C_1 e^{2x^2},
onde C_1 é uma nova constante real.

Passo 5

Aplicamos a condição inicial y(0)=2:
y(0) = C_1 e^{0} = C_1 = 2.
Logo C_1 = 2.

Resposta

y(x) = 2e^{2x^2}.

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