Em cada um dos Problemas 26 a 31:
(a). Mostre que a equação dada é homogênea.
(b). Resolva a equação diferencial.
3x. \frac{d y}{d x}=\frac{x^{2}-3 y^{2}}{2 x y}

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial
\frac{dy}{dx} \;=\;\frac{x^{2}-3y^{2}}{2xy}
e pede:
(a) mostrar que ela é homogênea;
(b) resolvê-la.
O conteúdo é de equações diferenciais de primeiro ordem homogêneas e o método é a substituição y=ux.

Passo 2

Defina
f(x,y)=\frac{x^{2}-3y^{2}}{2xy}.
Para verificar homogeneidade, calcule
f(tx,ty) =\frac{(tx)^{2}-3(ty)^{2}}{2\,(tx)\,(ty)} =\frac{t^{2}(x^{2}-3y^{2})}{t^{2}\,2xy} =\frac{x^{2}-3y^{2}}{2xy} =f(x,y).
Como f(tx,ty)=f(x,y), f é homogênea de grau 0.

Passo 3

Use a substituição
y=ux \quad\Longrightarrow\quad \frac{dy}{dx}=u+x\frac{du}{dx}.
Substituindo na equação original:
u+x\frac{du}{dx} =\frac{x^{2}-3(u x)^{2}}{2x\,(u x)} =\frac{x^{2}-3u^{2}x^{2}}{2u\,x^{2}} =\frac{1-3u^{2}}{2u}.

Passo 4

Isolamos du e dx:
x\frac{du}{dx} =\frac{1-3u^{2}}{2u}-u =\frac{1-3u^{2}-2u^{2}}{2u} =\frac{1-5u^{2}}{2u},
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\frac{2u}{1-5u^{2}}\,du=\frac{dx}{x}.
Integramos:
\int\frac{2u}{1-5u^{2}}\,du =\int\frac{dx}{x} \quad\Longrightarrow\quad -\frac{1}{5}\ln\bigl|1-5u^{2}\bigr| =\ln|x|+C.
Multiplicando por -5 e exponenciando, obtemos
1-5u^{2}=K\,x^{-5}.

Passo 5

Volte a u=\frac{y}{x}:
1-5\Bigl(\frac{y}{x}\Bigr)^{2}=K\,x^{-5} \quad\Longrightarrow\quad x^{2}-5y^{2}=K\,x^{-3} \quad\Longrightarrow\quad x^{5}-5x^{3}y^{2}=C.

Resposta

A solução geral implícita é
x^{5}-5x^{3}y^{2}=C,
onde C é a constante de integração.

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