Resolva a EDO dada por meio de uma substituição apropriada.
t^{2} \frac{d y}{d t}+y^{2}=t y

Passo 1

O enunciado dá a EDO não linear
t^{2}\,\frac{dy}{dt}+y^{2}=t\,y
Estamos diante de uma equação de tipo homogêneo em y e t, que costuma se resolver com a substituição
y = t\,u(t).

Passo 2

Fazendo y = t\,u, temos
\frac{dy}{dt} = u + t\,\frac{du}{dt}.
Substituindo em
t^{2}\,\frac{dy}{dt}+y^{2}=t\,y
ficamos com
t^{2}\Bigl(u + t\,\frac{du}{dt}\Bigr) + (t\,u)^{2} = t\,(t\,u).

Passo 3

Expandindo e cancelando termos iguais, obtemos
t^{2}u + t^{3}\,\frac{du}{dt} + t^{2}u^{2} = t^{2}u \quad\Longrightarrow\quad t^{3}\,\frac{du}{dt} + t^{2}u^{2}=0.
Dividindo por t^{2} (supondo t\neq0), dá
t\,\frac{du}{dt} + u^{2}=0.

Passo 4

Essa EDO é separável. Escrevemos
\frac{du}{dt} = -\frac{u^{2}}{t} \quad\Longrightarrow\quad \frac{du}{u^{2}} = -\frac{dt}{t}.
Integrando ambos os lados,
\int u^{-2}\,du = -\int t^{-1}\,dt \quad\Longrightarrow\quad -\,\frac{1}{u} = -\ln\lvert t\rvert + C_{1}.

Passo 5

Reescrevendo,
\frac{1}{u} = \ln\lvert t\rvert + C,
onde C=-C_{1}. Logo
u = \frac{1}{\ln\lvert t\rvert + C} \quad\text{e}\quad y = t\,u = \frac{t}{\ln\lvert t\rvert + C}.

Resposta

A solução geral da EDO é
\boxed{y(t) = \frac{t}{\ln\lvert t\rvert + C},}
com C constante de integração.

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