Em cada um dos problemas de 27 a 36, determinar a equação reduzida, o vértice, o foco, uma equação da diretriz e uma equação do eixo da parábola de equação dada. Esboçar o gráfico.
y^2-16 x+2 y+49=0

Passo 1

O enunciado nos dá a curva de equação
y^2 - 16x + 2y + 49 = 0
e pede a forma reduzida, o vértice, o foco, uma equação da diretriz, a equação do eixo da parábola e o esboço do gráfico.
Conteúdo envolvido: identificação de parábola, completar quadrado e uso da forma padrão ,(y-k)^2=4p,(x-h).

Passo 2

Começamos isolando x e completando o quadrado em y:
y^2 + 2y = 16x - 49
(y+1)^2 - 1 = 16x - 49
(y+1)^2 = 16x - 48
boxed(y+1)^2 = 16,l(x-3r)

Passo 3

Comparando com a forma padrão
(y - k)^2 = 4p,(x - h)
vemos que
h = 3, k = -1, 4p = 16 ;Longrightarrow; p = 4

Passo 4

A partir de h, k e p:
– Vértice:
V = (h, k) = (3,, -1)
– Foco: desloca-se p unidades no sentido de abertura (direita), logo
F = (h + p,, k) = (3 + 4,, -1) = (7,, -1)
– Diretriz: reta vertical à esquerda do vértice em x = h - p, ou seja
boxedx = -1

Passo 5

Eixo da parábola: reta que passa pelo vértice e é paralela à direção de abertura (horizontal), então
boxedy = -1

Passo 6

Esboço do gráfico:
– A parábola abre para a direita a partir de V(3,-1).
– Marque o foco F(7,-1) e a diretriz x=-1.
– Desenhe a curva que equidista do foco e da diretriz.

Resposta

Forma reduzida: (y+1)^2=16(x-3)
Vértice: (3,-1)
Foco: (7,-1)
Diretriz: x=-1
Eixo: y=-1
Esboço: parábola com vértice em (3,-1), abrindo para a direita, foco em (7,-1) e diretriz x=-1.

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