Calcule o núcleo e a imagem da transformação linear abaixo:
tal que
;
Passo 1
O enunciado pede o núcleo (
) e a imagem (
) da transformação linear
O que precisamos usar é resolução de sistema linear homogêneo para achar
e determinação de colunas independentes para achar
.
Passo 2
Escrevemos
na forma matricial
de modo que . Para achar
, resolvemos
ou seja, o sistema
Passo 3
Do primeiro temos
x=-2y-3z . Substituindo no segundo:
Logo
x=-2(-2z)-3z=4z-3z=z . Tomando parâmetro
t=z , temos
portanto
Passo 4
As colunas de
A são
;(1,3),;(2,2),;(3,1)inR^2 .
Basta ver que(1,3) e
(2,2) são linearmente independentes, pois
Basta ver que
Logo
Im(T) tem dimensão 2 em
R^2 e, portanto,