Calcule o núcleo e a imagem da transformação linear abaixo:
T: R^3 R^2 tal que T(x, y, z)=(x+2 y+3 z, 3 x+2 y+z);

Passo 1

O enunciado pede o núcleo ( ker(T)) e a imagem ( Im(T)) da transformação linear
Tcolon R^3 to R^2, T(x,y,z)=(x+2y+3z,;3x+2y+z)
O que precisamos usar é resolução de sistema linear homogêneo para achar ker(T) e determinação de colunas independentes para achar Im(T).

Passo 2

Escrevemos na forma matricial
de modo que . Para achar , resolvemos
ou seja, o sistema

Passo 3

Do primeiro temos x=-2y-3z. Substituindo no segundo:
3(-2y-3z)+2y+z=0 Longrightarrow -6y-9z+2y+z=0 Longrightarrow -4y-8z=0 Longrightarrow y=-2z
Logo x=-2(-2z)-3z=4z-3z=z. Tomando parâmetro t=z, temos
(x,y,z)=(t,,-2t,,t)=t,(1,-2,1),
portanto
ker(T)=t,(1,-2,1)mid tinR

Passo 4

As colunas de A são
;(1,3),;(2,2),;(3,1)inR^2.
Basta ver que (1,3) e (2,2) são linearmente independentes, pois
det1&23&2=1cdot2-2cdot3=-4neq0
Logo Im(T) tem dimensão 2 em R^2 e, portanto,
Im(T)=R^2 l(por exemplo, >=rada por (1,3) e (2,2)r)

Resposta

ker(T)=t,(1,-2,1)mid tinR.
Im(T)=R^2

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