Verifique que as duas retas:
r: X=(1,1,1)+lambda(1,0,1), lambda in R, e s: Y=(1,3,-1)+mu(-1,0,1), mu in R
são reversas, determine os extremos no segmento que é ortogonal a r e a s e a distância de r a s.

Passo 1

O enunciado fornece as retas
r:;X = P + lambda,u, P=(1,1,1),;u=(1,0,1),
s:;Y = Q + mu,v, Q=(1,3,-1),;v=(-1,0,1),
e pede: (i) verificar que são reversas (isto é, nem coincidentes nem paralelas nem com ponto em comum), (ii) encontrar os pontos extremos Ain r e Bin s tais que o segmento AB seja perpendicular a ambas as retas, e (iii) calcular a distância entre r e s.

Passo 2

Primeiro mostramos que não são paralelas nem se intersectam.
  1. As direções
Em coordenadas:
A segunda equação dá (1=3], impossível. Logo não há interseção: as retas são reversas.

Passo 3

O segmento de menor distância é perpendicular a u e a v. Se chamarmos
A = P + lambda,u, B = Q + mu,v,
então o vetor AB=B-A = (Q-P) + mu,v - lambda,u deve satisfazer
ABcdot u = 0, ABcdot v = 0
Calculando Q-P=(0,2,-2), temos
AB = (-mu-lambda,;2,;-2+mu-lambda)
Impondo ortogonalidade:
ABcdot u = (-mu-lambda)cdot1 + 2cdot0 +(-2+mu-lambda)cdot1 = -2(lambda+1)=0 ;Rightarrow;lambda=-1,
ABcdot v = (-mu-lambda)cdot(-1) + 2cdot0 +(-2+mu-lambda)cdot1 = 2mu-2=0 ;Rightarrow;mu=1

Passo 4

Com lambda=-1 e mu=1 obtemos os extremos:
A = P + (-1),u = (1,1,1) +(-1,0,-1) = (0,1,0),
B = Q + 1cdot v = (1,3,-1) +(-1,0,1) = (0,3,0)
A distância é o comprimento de AB=(0,2,0), ou seja
|AB| = 2

Resposta

As retas são reversas.
Os extremos do segmento ortogonal são
A=(0,1,0) e B=(0,3,0),
e a distância entre r e s é 2.

Exercícios relacionados