são reversas, determine os extremos no segmento que é ortogonal a e a s e a distância de a .
Passo 1
O enunciado fornece as retas
e pede: (i) verificar que são reversas (isto é, nem coincidentes nem paralelas nem com ponto em comum), (ii) encontrar os pontos extremos e tais que o segmento seja perpendicular a ambas as retas, e (iii) calcular a distância entre r e s.
Passo 2
Primeiro mostramos que não são paralelas nem se intersectam.
As direções
Em coordenadas:
A segunda equação dá (1=3], impossível. Logo não há interseção: as retas são reversas.
Passo 3
O segmento de menor distância é perpendicular a u e a v. Se chamarmos
A = P + lambda,u, B = Q + mu,v,
então o vetor AB=B-A = (Q-P) + mu,v - lambda,u deve satisfazer
ABcdot u = 0, ABcdot v = 0
Calculando Q-P=(0,2,-2), temos
AB = (-mu-lambda,;2,;-2+mu-lambda)
Impondo ortogonalidade:
ABcdot u = (-mu-lambda)cdot1 + 2cdot0 +(-2+mu-lambda)cdot1 = -2(lambda+1)=0 ;Rightarrow;lambda=-1,
ABcdot v = (-mu-lambda)cdot(-1) + 2cdot0 +(-2+mu-lambda)cdot1 = 2mu-2=0 ;Rightarrow;mu=1
Passo 4
Com lambda=-1 e mu=1 obtemos os extremos:
A = P + (-1),u = (1,1,1) +(-1,0,-1) = (0,1,0),
B = Q + 1cdot v = (1,3,-1) +(-1,0,1) = (0,3,0)
A distância é o comprimento de AB=(0,2,0), ou seja
|AB| = 2
Resposta
As retas são reversas.
Os extremos do segmento ortogonal são