Em cada um dos Problemas 29 e 30, use o método do Problema 28 para resolver a equação diferencial dada.
y^{\prime}+\frac{1}{t} y=\cos (2 t), \quad t>0

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial de primeira ordem
y' + \frac{1}{t}\,y = \cos(2t),\quad t>0.
Este é um caso de EDO linear na forma padrão y' + P(t)\,y = Q(t). Vamos usar o método do fator integrante para obter a solução geral.

Passo 2

Identificamos
P(t)=\frac{1}{t}, \qquad Q(t)=\cos(2t).
O fator integrante \mu(t) é dado por
\mu(t)=\exp\!\Bigl(\int P(t)\,dt\Bigr) =\exp\!\Bigl(\int \frac{1}{t}\,dt\Bigr) =\exp(\ln t) =t.

Passo 3

Multiplicamos toda a EDO por \mu(t)=t:
t\,y' + y = t\cos(2t).
O lado esquerdo é a derivada do produto t\,y, ou seja,
\frac{d}{dt}\bigl(t\,y\bigr)=t\,y'+y.
Logo a equação fica
\frac{d}{dt}\bigl(t\,y\bigr)=t\cos(2t).

Passo 4

Integramos ambos os lados em relação a t:
\int \frac{d}{dt}\bigl(t\,y\bigr)\,dt =\int t\cos(2t)\,dt.
Chamemos
I=\int t\cos(2t)\,dt.
Usamos integração por partes:
u=t,\quad dv=\cos(2t)\,dt \implies du=dt,\quad v=\frac{1}{2}\sin(2t).
Então
I =uv-\int v\,du =\frac{t}{2}\sin(2t) -\int \frac{1}{2}\sin(2t)\,dt.
Como
\int \sin(2t)\,dt =-\frac{1}{2}\cos(2t),
segue que
I =\frac{t}{2}\sin(2t) +\frac{1}{4}\cos(2t) + C.
Portanto
t\,y = \frac{t}{2}\sin(2t) +\frac{1}{4}\cos(2t) + C.

Passo 5

Isolando y, obtemos a solução geral:
y(t) =\frac{1}{2}\sin(2t) +\frac{1}{4t}\cos(2t) +\frac{C}{t},
onde C é constante arbitrária de integração.

Resposta

A solução geral da EDO é
y(t)=\frac{1}{2}\sin(2t)+\frac{1}{4t}\cos(2t)+\frac{C}{t},\quad C\in\mathbb{R}.

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