Resolva as EDOs
y^{\prime}+2 y=1

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial linear de primeira ordem
y' + 2y = 1.
O conteúdo aqui é EDOs lineares de 1ª ordem e vamos usar o método do fator integrante.

Passo 2

Colocando em forma padrão \,y' + P(x)\,y = Q(x), identificamos
P(x) = 2,\quad Q(x)=1.
O fator integrante é
\mu(x) = \exp\Bigl(\int P(x)\,dx\Bigr) = \exp\bigl(\int 2\,dx\bigr) = e^{2x}.
Multiplicando a equação original por \mu(x), fica
e^{2x}\,y' + 2e^{2x}\,y = e^{2x},
que reconhecemos como
\frac{d}{dx}\bigl(e^{2x}y\bigr) = e^{2x}.

Passo 3

Agora integramos ambos os lados em relação a x:
e^{2x}y = \int e^{2x}\,dx = \frac{1}{2}e^{2x} + C.
Para isolar y, dividimos por e^{2x}, obtendo a solução geral
y(x) = \frac{1}{2} + C\,e^{-2x}.

Resposta

y(x) = \frac{1}{2} + C\,e^{-2x}.

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