Variação dos Parâmetros. Considere o seguinte método de resolução da equação linear de primeira ordem geral:
a. Se
para todo
, mostre que a solução é
em que
é uma constante.
b. Se
não for identicamente nula, suponha que a solução da Eq. (48) é da forma
em que
agora é uma função de
. Substituindo
na equação diferencial dada, mostre que
tem que satisfazer a condição
b. Se
Passo 1
O enunciado trata da equação linear de primeira ordem
querendo primeiro a solução do caso homogêneo
e depois usar variação de parâmetro supondo
Passo 2
Para o caso homogêneo
temos
Dividindo por
(assumindo
) obtemos
Integrando em
,
onde
é constante. Assim
com
.
Passo 3
Para
adotamos a hipótese
Chamando
temos
Pela regra do produto e da cadeia,
Passo 4
Substituindo em
:
Os termos com
se cancelam, restando
logo
Resposta
Para
:
Para
: