Variação dos Parâmetros. Considere o seguinte método de resolução da equação linear de primeira ordem geral:
y^{\prime}+p(t) y=g(t) .
a. Se g(t)=0 para todo t, mostre que a solução é
y=A \exp \left(-\int p(t) d t\right)
em que A é uma constante.
b. Se g(t) não for identicamente nula, suponha que a solução da Eq. (48) é da forma
y=A(t) \exp \left(-\int p(t) d t\right)
em que A agora é uma função de t. Substituindo y na equação diferencial dada, mostre que A(t) tem que satisfazer a condição
A^{\prime}(t)=g(t) \exp \left(\int p(t) d t\right)

Passo 1

O enunciado trata da equação linear de primeira ordem
y' + p(t)\,y = g(t),
querendo primeiro a solução do caso homogêneo g(t)=0 e depois usar variação de parâmetro supondo
y = A(t)\,\exp\Bigl(-\!\int p(t)\,dt\Bigr).

Passo 2

Para o caso homogêneo g(t)=0 temos
y' + p(t)\,y = 0.
Dividindo por y (assumindo y\neq0) obtemos
\frac{y'}{y} = -\,p(t).
Integrando em t,
\ln\bigl|y\bigr| = -\int p(t)\,dt + C,
onde C é constante. Assim
y = A \,\exp\!\Bigl(-\!\int p(t)\,dt\Bigr),
com A=e^C.

Passo 3

Para g(t)\neq0 adotamos a hipótese
y = A(t)\,\exp\!\Bigl(-\!\int p(t)\,dt\Bigr).
Chamando
I(t)=\int p(t)\,dt,
temos
y = A(t)\,e^{-I(t)}.
Pela regra do produto e da cadeia,
y' = A'(t)\,e^{-I(t)} \;+\; A(t)\,\bigl(-I'(t)\bigr)\,e^{-I(t)} = A'(t)\,e^{-I(t)} \;-\; A(t)\,p(t)\,e^{-I(t)}.

Passo 4

Substituindo em y' + p(t)\,y = g(t):
\bigl[A'(t)\,e^{-I(t)} - A(t)\,p(t)\,e^{-I(t)}\bigr] + p(t)\,A(t)\,e^{-I(t)} = g(t).
Os termos com A(t)\,p(t) se cancelam, restando
A'(t)\,e^{-I(t)} = g(t),
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A'(t) = g(t)\,\exp\!\bigl(I(t)\bigr) = g(t)\,\exp\!\Bigl(\!\int p(t)\,dt\Bigr).

Resposta

Para g(t)=0:
y = A \,\exp\!\Bigl(-\!\int p(t)\,dt\Bigr).
Para g(t)\neq0:
A'(t) = g(t)\,\exp\!\Bigl(\!\int p(t)\,dt\Bigr).

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