Desenhe um campo de direções para a equação diferencial dada.
a. Desenhe um campo de direções para a equação diferencial dada.
b. Com base em uma análise do campo de direções, descreva o comportamento das soluções para valores grandes de
.
c. Encontre a solução geral da equação diferencial dada e use-a para determinar o comportamento das soluções quando
.
a. Desenhe um campo de direções para a equação diferencial dada.
b. Com base em uma análise do campo de direções, descreva o comportamento das soluções para valores grandes de
c. Encontre a solução geral da equação diferencial dada e use-a para determinar o comportamento das soluções quando
Passo 1
O enunciado pede:
a. Desenhar o campo de direções para a EDO
a. Desenhar o campo de direções para a EDO
b. A partir do campo de direções, descrever qualitativamente o comportamento das soluções para
grande.
c. Encontrar a solução geral e usar essa forma fechada para confirmar o comportamento quando .
c. Encontrar a solução geral e usar essa forma fechada para confirmar o comportamento quando
Este é um problema de EDO linear de primeira ordem. Vamos precisar:
- Escrever a inclinação em cada ponto
como
- Identificar as isóclinas (linhas de inclinação constante, em especial a horizontal
). - Usar fator integrante para achar a solução geral e estudar o termo transiente.
Passo 2
Para desenhar o campo de direções, note que em cada ponto
a inclinação é
Em particular as isóclinas horizontais
satisfazem
Isso significa que ao longo da parábola
os pequenos segmentos são horizontais.
- Para
, temos , segmentos inclinados para baixo. - Para
, temos , segmentos inclinados para cima.
Passo 3
Com base no campo de direções, vemos que todas as soluções são “atraídas” para a curva
conforme
cresce: se uma solução estiver acima dessa parábola, ela desce em direção a ela; se estiver abaixo, sobe. Logo, à medida que
, as soluções tendem a seguir a parábola
.
Passo 4
Agora encontramos a solução geral por fator integrante. Escrevemos a EDO em forma padrão:
O fator integrante é
Multiplicando a equação por
:
Integramos ambos os lados:
Calculando a integral por partes (ou consultando tabela), obtém-se
logo
Passo 5
Da forma geral
o termo
decai para zero quando
. Assim
Isso confirma que, embora cada solução cresça sem limite (pois o termo quadrático domina), todas se aproximam da parábola particular
— e, em aproximação grosseira, da isóclina
— conforme
fica grande.
Resposta
A solução geral é
Para
, o termo
e portanto
confirmando que, no campo de direções, todas as soluções são atraídas para a parábola
e crescem quadraticamente.