Desenhe um campo de direções para a equação diferencial dada.
a. Desenhe um campo de direções para a equação diferencial dada.
b. Com base em uma análise do campo de direções, descreva o comportamento das soluções para valores grandes de t.
c. Encontre a solução geral da equação diferencial dada e use-a para determinar o comportamento das soluções quando t \rightarrow \infty.
2 y^{\prime}+y=3 t^{2}

Passo 1

O enunciado pede:
a. Desenhar o campo de direções para a EDO
2\,y' + y = 3\,t^2.
b. A partir do campo de direções, descrever qualitativamente o comportamento das soluções para t grande.
c. Encontrar a solução geral e usar essa forma fechada para confirmar o comportamento quando t\to\infty.
Este é um problema de EDO linear de primeira ordem. Vamos precisar:
  • Escrever a inclinação em cada ponto (t,y) como
y' = \frac{3\,t^2 - y}{2}.
  • Identificar as isóclinas (linhas de inclinação constante, em especial a horizontal y'=0).
  • Usar fator integrante para achar a solução geral e estudar o termo transiente.

Passo 2

Para desenhar o campo de direções, note que em cada ponto (t,y) a inclinação é
m(t,y)=y'=\frac{3\,t^2 - y}{2}.
Em particular as isóclinas horizontais y'=0 satisfazem
3\,t^2 - y = 0 \quad\Longrightarrow\quad y = 3\,t^2.
Isso significa que ao longo da parábola y=3t^2 os pequenos segmentos são horizontais.
  • Para y>3t^2, temos y'<0, segmentos inclinados para baixo.
  • Para y<3t^2, temos y'>0, segmentos inclinados para cima.

Passo 3

Com base no campo de direções, vemos que todas as soluções são “atraídas” para a curva y=3t^2 conforme t cresce: se uma solução estiver acima dessa parábola, ela desce em direção a ela; se estiver abaixo, sobe. Logo, à medida que t\to\infty, as soluções tendem a seguir a parábola y=3t^2.

Passo 4

Agora encontramos a solução geral por fator integrante. Escrevemos a EDO em forma padrão:
y' + \tfrac12\,y = \tfrac32\,t^2.
O fator integrante é
\mu(t)=e^{\int \tfrac12\,dt}=e^{t/2}.
Multiplicando a equação por \mu(t):
e^{t/2}y' + \tfrac12\,e^{t/2}y = \tfrac32\,t^2 e^{t/2} \;\Longrightarrow\; \frac{d}{dt}\bigl(e^{t/2}y\bigr) = \tfrac32\,t^2 e^{t/2}.
Integramos ambos os lados:
e^{t/2}y = \int \tfrac32\,t^2 e^{t/2}\,dt + C.
Calculando a integral por partes (ou consultando tabela), obtém-se
\int t^2 e^{t/2}dt =2 e^{t/2}\bigl(t^2 -4t +8\bigr) + K,
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e^{t/2}y =3\,e^{t/2}\bigl(t^2 -4t +8\bigr)+C \;\Longrightarrow\; y(t) =3\bigl(t^2 -4t +8\bigr) + C\,e^{-t/2}.

Passo 5

Da forma geral
y(t)=3\,t^2 -12\,t +24 + C\,e^{-t/2},
o termo C\,e^{-t/2} decai para zero quando t\to\infty. Assim
y(t)\sim 3\,t^2 -12\,t +24, \quad t\to\infty.
Isso confirma que, embora cada solução cresça sem limite (pois o termo quadrático domina), todas se aproximam da parábola particular y=3t^2 -12t +24 — e, em aproximação grosseira, da isóclina y=3t^2 — conforme t fica grande.

Resposta

A solução geral é
y(t)=3\,t^2 -12\,t +24 + C\,e^{-t/2}.
Para t\to\infty, o termo C\,e^{-t/2}\to0 e portanto
y(t)\sim 3\,t^2 -12\,t +24,
confirmando que, no campo de direções, todas as soluções são atraídas para a parábola y=3t^2 e crescem quadraticamente.

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