Resolva o PVI.
\left\{\begin{array}{l}y^{\prime}+3 y=4 \\\ y(1)=-2\end{array}\right.

Passo 1

O enunciado pede para resolver o problema de valor inicial
\begin{cases} y'(x) + 3\,y(x) = 4,\\\ y(1) = -2, \end{cases}
que é uma equação diferencial linear de primeira ordem. Vamos usar o método do fator integrante para encontrar a solução geral e depois impor a condição inicial para determinar a constante.

Passo 2

Calculamos o fator integrante \mu(x) como
\mu(x) = \exp\!\bigl(\!\int 3\,dx\bigr) = e^{3x}.

Passo 3

Multiplicamos a equação original por \mu(x):
e^{3x}y' + 3\,e^{3x}y = 4\,e^{3x}.
O lado esquerdo é exatamente a derivada de e^{3x}y, ou seja,
\bigl(e^{3x}y\bigr)' = 4\,e^{3x}.
Agora integramos ambos os lados em relação a x:
\int \bigl(e^{3x}y\bigr)'dx = \int 4\,e^{3x}dx \quad\Longrightarrow\quad e^{3x}y = \frac{4}{3}\,e^{3x} + C,
onde C é a constante de integração.

Passo 4

Isolando y obtemos a solução geral
y(x) = \frac{4}{3} + C\,e^{-3x}.
Para achar C, usamos y(1) = -2:
-2 = \frac{4}{3} + C\,e^{-3} \quad\Longrightarrow\quad C\,e^{-3} = -2 - \frac{4}{3} = -\frac{10}{3} \quad\Longrightarrow\quad C = -\frac{10}{3}\,e^{3}.

Resposta

y(x) = \frac{4}{3} \;-\;\frac{10}{3}\,e^{3}\,e^{-3x} \;=\; -\frac{10}{3}\,e^{3(1-x)} \;+\;\frac{4}{3}.

Exercícios relacionados