Considere a integral iterada dada em coordenadas cilíndricas:
I=\int_{0}^{\pi} \int_{0}^{2} \int_{0}^{\sqrt{4-r^{2}}} r^{2} \operatorname{sen} \theta d z d r d \theta
a. Expresse I em coordenadas esféricas segundo a ordem de integração d \theta d \varphi d \rho.
b. Calcule o valor de I.

Passo 1

O enunciado dá
I=\int_{0}^{\pi}\int_{0}^{2}\int_{0}^{\sqrt{4-r^{2}}}r^{2}\sin\theta\,dz\,dr\,d\theta
em coordenadas cilíndricas e pede (a) a expressão em coordenadas esféricas na ordem d\theta\,d\varphi\,d\rho e (b) o valor de I. Para isso vamos usar as fórmulas de mudança de variáveis:
r=\rho\sin\varphi,\quad z=\rho\cos\varphi,\quad dV=\rho^{2}\sin\varphi\,d\rho\,d\varphi\,d\theta.

Passo 2

Descrevemos a região de integração em esféricas. Em cilíndricas tínhamos \theta\in[0,\pi], r\in[0,2], z\in[0,\sqrt{4-r^{2}}].
Isso é o semiespaço acima do plano z=0 limitado pela esfera \rho=2 e pelo semiângulo \theta\in[0,\pi]. Logo em esféricas:
0\le\theta\le\pi,\quad 0\le\varphi\le\frac{\pi}{2},\quad 0\le\rho\le2.

Passo 3

Transformamos o integrando. Em cilíndricas era r^{2}\sin\theta. Em esféricas r=\rho\sin\varphi, então
r^{2}\sin\theta=(\rho\sin\varphi)^{2}\sin\theta=\rho^{2}\sin^{2}\varphi\sin\theta,
e multiplicamos pelo jacobiano \rho^{2}\sin\varphi, ficando
\rho^{4}\sin^{3}\varphi\sin\theta.

Passo 4

Escrevemos I em esféricas com a ordem d\theta\,d\varphi\,d\rho:
I =\int_{\rho=0}^{2}\int_{\varphi=0}^{\pi/2}\int_{\theta=0}^{\pi} \rho^{4}\sin^{3}\varphi\sin\theta \,d\theta\,d\varphi\,d\rho.

Passo 5

Calculamos separando variáveis:
\int_{0}^{\pi}\sin\theta\,d\theta=2,\quad \int_{0}^{\pi/2}\sin^{3}\varphi\,d\varphi=\frac{2}{3},\quad \int_{0}^{2}\rho^{4}\,d\rho=\frac{2^{5}}{5}=\frac{32}{5}.
Multiplicando:
I=2\cdot\frac{2}{3}\cdot\frac{32}{5}=\frac{128}{15}.

Resposta

(a)
I =\int_{0}^{2}\int_{0}^{\pi/2}\int_{0}^{\pi} \rho^{4}\sin^{3}\varphi\sin\theta \,d\theta\,d\varphi\,d\rho.
(b) \displaystyle I=\frac{128}{15}.

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