Considere a integral iterada dada em coordenadas cilíndricas:
a. Expresse
em coordenadas esféricas segundo a ordem de integração
.
b. Calcule o valor de
.
b. Calcule o valor de
Passo 1
O enunciado dá
em coordenadas cilíndricas e pede (a) a expressão em coordenadas esféricas na ordem
e (b) o valor de
. Para isso vamos usar as fórmulas de mudança de variáveis:
Passo 2
Descrevemos a região de integração em esféricas. Em cilíndricas tínhamos
,
,
.
Isso é o semiespaço acima do plano limitado pela esfera
e pelo semiângulo
. Logo em esféricas:
Isso é o semiespaço acima do plano
Passo 3
Transformamos o integrando. Em cilíndricas era
. Em esféricas
, então
e multiplicamos pelo jacobiano
, ficando
Passo 4
Escrevemos
em esféricas com a ordem
:
Passo 5
Calculamos separando variáveis:
Multiplicando:
Resposta
(a)
(b)