Lista de exercícios de Cálculo III - Integrais de linha
  1. Calcule \int_{C} \frac{1}{x^{2}+y^{2}+z^{2}} d s, onde C é a curva dada por \gamma(t)=(\cos t, \operatorname{sen} t, t), \operatorname{com} 0 \leq t \leq 2 \pi.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral de linha da função escalar
f(x,y,z)=\frac{1}{x^{2}+y^{2}+z^{2}}
ao longo da curva C parametrizada por
\gamma(t)=(\cos t,\sin t,t),\quad 0\le t\le2\pi.
O conteúdo aqui é integral de linha de campo escalar, para o qual usamos a fórmula
\int_{C}f\,ds=\int_{a}^{b}f\bigl(\gamma(t)\bigr)\,\bigl\|\gamma'(t)\bigr\|\,dt.

Passo 2

Calculamos a derivada da parametrização e seu módulo:
\gamma'(t)=(-\sin t,\cos t,1),
\bigl\|\gamma'(t)\bigr\| =\sqrt{(-\sin t)^{2}+(\cos t)^{2}+1^{2}} =\sqrt{1+1} =\sqrt{2}.

Passo 3

Substituímos na integral de linha:
f\bigl(\gamma(t)\bigr) =\frac{1}{(\cos t)^{2}+(\sin t)^{2}+t^{2}} =\frac{1}{1+t^{2}},
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\int_{C}\frac{1}{x^{2}+y^{2}+z^{2}}\,ds =\int_{0}^{2\pi}\frac{1}{1+t^{2}}\;\sqrt{2}\,dt =\sqrt{2}\int_{0}^{2\pi}\frac{dt}{1+t^{2}}.

Passo 4

Reconhecemos a primitiva de 1/(1+t^{2}) como \arctan t. Portanto,
\int_{0}^{2\pi}\frac{dt}{1+t^{2}} =\bigl[\arctan t\bigr]_{0}^{2\pi} =\arctan(2\pi)-\arctan(0) =\arctan(2\pi).

Resposta

\sqrt{2}\,\arctan\bigl(2\pi\bigr).

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