Em cada um dos Problemas 1 a 32, resolva a equação diferencial dada. Se uma condição inicial for especificada, determine a solução que a satisfaz.
Passo 1
Temos a equação diferencial
. Vamos buscar uma solução implícita usando o conceito de exatidão de equações diferenciais e, se necessário, fator integrante.
Passo 2
Identificamos
e
. Calculamos
e
. Como não coincidem, a equação não é exata.
Passo 3
Procuramos um fator integrante que dependa apenas de
. Verificamos
que é função só de
Passo 4
Multiplicamos a equação original por
, obtendo
Passo 5
Agora conferimos
que são iguais, mostrando que a equação tornou-se exata.
Passo 6
Buscamos uma função potencial
tal que
. Integramos em
:
Passo 7
Para achar
, usamos
. Calculamos
e igualamos a
Passo 8
Assim a função potencial completa é
que simplifica usando
Passo 9
A solução geral implícita da equação diferencial é dada por essa
constante.