Em cada um dos Problemas 1 a 32, resolva a equação diferencial dada. Se uma condição inicial for especificada, determine a solução que a satisfaz.
2 sen y cos x d x+cos y sen x d y=0

Passo 1

Temos a equação diferencial 2sin ycos x,dx + cos ysin x,dy = 0. Vamos buscar uma solução implícita usando o conceito de exatidão de equações diferenciais e, se necessário, fator integrante.

Passo 2

Identificamos M(x,y)=2sin ycos x e N(x,y)=cos ysin x. Calculamos partial M/partial y=2cos ycos x e partial N/partial x=cos ycos x. Como não coincidem, a equação não é exata.

Passo 3

Procuramos um fator integrante que dependa apenas de x. Verificamos
partial M/partial y - partial N/partial xN = 2cos ycos x - cos ycos xcos ysin x = cot x,
que é função só de x. Logo
mu(x)=expl(integralcot x,dxr)=sin x

Passo 4

Multiplicamos a equação original por sin x, obtendo
M^*=sin xcdot M = sin ysin2x, N^*=sin xcdot N = cos ysin^2x

Passo 5

Agora conferimos
partial M^*partial y=cos ysin2x, partial N^*partial x=cos ysin2x,
que são iguais, mostrando que a equação tornou-se exata.

Passo 6

Buscamos uma função potencial psi(x,y) tal que psix = M^*. Integramos em x:
psi(x,y)=integralsin ysin2x,dx = -tfrac12sin ycos2x + h(y)

Passo 7

Para achar h(y), usamos psiy = N^*. Calculamos
psiy = -tfrac12cos2xcos y + h'(y)
e igualamos a cos ysin^2x. Com a identidade sin^2x=tfrac12(1-cos2x), fica
h'(y)=tfrac12cos y, h(y)=tfrac12sin y

Passo 8

Assim a função potencial completa é
psi(x,y)=-tfrac12sin ycos2x + tfrac12sin y,
que simplifica usando 1-cos2x=2sin^2x para
psi(x,y)=sin^2xsin y

Passo 9

A solução geral implícita da equação diferencial é dada por essa psi(x,y) constante.

Resposta

sin^2xsin y = C

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