Resolver a equação diferencial em b) para encontrar a expressão analítica das trajetórias ortogonais às parábolas
. Desenhar algumas destas trajetórias ortogonais.
Passo 1
Estamos lidando com a família de parábolas definida por
e queremos encontrar as curvas que as interceptam ortogonalmente (isto é, com ângulo de 90°).
Passo 2
Primeiro derivamos o parâmetro implícito da família original. Da expressão
temos
Como
Passo 3
Para as trajetórias ortogonais, o coeficiente angular
é o negativo do inverso do coeficiente angular original. Logo,
Passo 4
Portanto, a equação diferencial das ortogonais é
Passo 5
Essa EDO é separável. Separamos as variáveis:
Passo 6
Integrando ambos os lados:
Passo 7
Reescrevendo em forma canônica, definindo
, obtemos:
Logo, as trajetórias ortogonais são elipses centradas na origem. Por exemplo, para
Resposta
x^2 + 2y^2 = C