Resolver a equação diferencial em b) para encontrar a expressão analítica das trajetórias ortogonais às parábolas y=k x^2. Desenhar algumas destas trajetórias ortogonais.

Passo 1

Estamos lidando com a família de parábolas definida por y = k x^2 e queremos encontrar as curvas que as interceptam ortogonalmente (isto é, com ângulo de 90°).

Passo 2

Primeiro derivamos o parâmetro implícito da família original. Da expressão y = k x^2 temos
dydx = 2k x
Como k = yx^2, substituímos na derivada para obter a equação diferencial da família dada:
dydx = 2,yx

Passo 3

Para as trajetórias ortogonais, o coeficiente angular mperp é o negativo do inverso do coeficiente angular original. Logo,
mperp = -12y/x = -x2y

Passo 4

Portanto, a equação diferencial das ortogonais é
dydx = -x2y

Passo 5

Essa EDO é separável. Separamos as variáveis:
2y,dy = -x,dx

Passo 6

Integrando ambos os lados:
integral 2y,dy = integral -x,dx Longrightarrow y^2 = -tfracx^22 + C

Passo 7

Reescrevendo em forma canônica, definindo C' = 2C, obtemos:
x^2 + 2y^2 = C'
Logo, as trajetórias ortogonais são elipses centradas na origem. Por exemplo, para C'=1,2,3 temos algumas dessas elipses desenhadas no plano.

Resposta

x^2 + 2y^2 = C

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