Classifique a EDP como hiperbólica, parabólica ou elíptica.
a^2 partial^2 upartial x^2=partial^2 upartial t^2, a in R^*;

Passo 1

O enunciado pede para classificar a EDP
a^2,partial^2upartial x^2 ;=;partial^2upartial t^2
como hiperbólica, parabólica ou elíptica. Isso envolve reconhecer os coeficientes da parte de segunda ordem em x e t e usar o discriminante B^2-AC.

Passo 2

A forma padrão de uma EDP linear de segunda ordem em duas variáveis (x,t) é
A,uxx ;+;2B,uxt;+;C,utt ;+;(termos de ordem inferior);=;0
e a classificação usa o sinal de
De<a = B^2 - A,C
Se De<a>0 a EDP é hiperbólica, se De<a=0 é parabólica e se De<a<0 é elíptica.

Passo 3

Reescrevendo a equação dada em forma padrão:
a^2,uxx ;=;utt Longrightarrow a^2,uxx ;-;utt ;=;0
Comparando com a forma A,uxx+2B,uxt+C,utt=0, temos
A = a^2, 2B = 0 Rightarrow B=0, C = -1

Passo 4

Calculamos o discriminante:
De<a = B^2 - A,C = 0^2 - l(a^2r),(-1) = a^2
Como ainR^*, segue que De<a = a^2>0.

Passo 5

O valor De<a>0 indica que a EDP é hiperbólica.

Resposta

A EDP é hiperbólica.

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