Em cada um dos Problemas 1 a 32, resolva a equação diferencial dada. Se uma condição inicial for especificada, determine a solução que a satisfaz.
y^prime=e^x+y

Passo 1

Neste exercício a gente tem a equação diferencial y' = e^x+y. O conteúdo é equações diferenciais de primeira ordem separáveis, e vamos precisar usar separação de variáveis e integração.

Passo 2

Reescrevendo y' = dydx e separando as variáveis, temos
dydx = e^x cdot e^y
que permite
dye^y = e^x ,dx .

Passo 3

Agora integramos ambos os lados:
integral e^-y ,dy = integral e^x ,dx
No lado esquerdo
integral e^-y ,dy = -e^-y + C1
e no direito
integral e^x ,dx = e^x + C2 .

Passo 4

Igualando as duas expressões e combinando as constantes num só C, obtemos
-e^-y = e^x + C
Logo
e^-y = -e^x - C = C' - e^x
onde C' = -C é constante arbitrária.

Passo 5

Finalmente, isolando y:
y = -lnl(C' - e^xr)
Essa é a solução geral da equação diferencial.

Resposta

y = -\ln\bigl(C - e^x\bigr), onde C é constante de integração.

Exercícios relacionados