Em cada um dos Problemas 1 a 32, resolva a equação diferencial dada. Se uma condição inicial for especificada, determine a solução que a satisfaz.
(2 xy-yx^2+y^2) d x+(xx^2+y^2-x^2y^2) d y=0

Passo 1

Temos a EDO na forma M(x,y),dx + N(x,y),dy=0, com
M(x,y)=2xy-yx^2+y^2, N(x,y)=xx^2+y^2-x^2y^2
O conteúdo aqui é equação exata, então vamos verificar se partial M/partial y=partial N/partial x e depois encontrar uma função potencial phi(x,y) tal que phix=M e phiy=N.

Passo 2

Calculemos as derivadas parciais para testar exatidão. De um lado temos
partial Mpartial y=-2xy^2-ddyl(yx^2+y^2r) =-2xy^2-x^2-y^2(x^2+y^2)^2
Do outro,
partial Npartial x=ddxl(xx^2+y^2r)-2xy^2 =y^2-x^2(x^2+y^2)^2-2xy^2
Observamos que são iguais, logo a equação é exata.

Passo 3

Agora encontramos phi(x,y) integrando M em relação a x:
phi(x,y)=integrall(2xy-yx^2+y^2r)dx =x^2y-arctan!l(xyr)+h(y),
onde h(y) é uma função a determinar.

Passo 4

Para achar h(y), derivamos phi em relação a y e igualamos a N:
phiy=-x^2y^2+xx^2+y^2+h'(y) stackrel!=xx^2+y^2-x^2y^2
Daí vem h'(y)=0, isto é, h(y)=constante

Passo 5

Como h(y) é constante, a solução geral implícita é
phi(x,y)=x^2y-arctan!l(xyr)=C

Resposta

x^2y-arctan!l(xyr)=C

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