Use o método de separação de variáveis para substituir a equação diferencial parcial dada por um par de equaçõẽs diferenciais ordinárias.
,
Passo 1
O enunciado pede para aplicar o método de separação de variáveis na PDE
que é a equação da onda unidimensional. Vamos assumir que a solução pode ser escrita como produto de funções de cada variável, ou seja,
Passo 2
Substituindo
na PDE temos
logo
Passo 3
Para separar as variáveis, dividimos toda a expressão por
(assumindo
e
), obtendo
Cada lado depende apenas de uma variável, então ambos devem ser iguais a uma constante de separação, que chamaremos de
.
Passo 4
Escolhendo
obtemos dois EDOs independentes em
e em
.
Passo 5
As equações diferenciais ordinárias resultantes são
Em muitos problemas de contorno usa-se a escolha
, o que leva a
Resposta
As EDOs obtidas pela separação de variáveis são
(ou, com
,
).