Use o método de separação de variáveis para substituir a equação diferencial parcial dada por um par de equaçõẽs diferenciais ordinárias.
ux x-ut t=0,

Passo 1

O enunciado pede para aplicar o método de separação de variáveis na PDE
uxx - utt = 0
que é a equação da onda unidimensional. Vamos assumir que a solução pode ser escrita como produto de funções de cada variável, ou seja,
u(x,t) = X(x),T(t)

Passo 2

Substituindo u(x,t)=X(x)T(t) na PDE temos
uxx = X''(x),T(t), utt = X(x),T''(t),
logo
X''(x),T(t) ;-; X(x),T''(t) ;=; 0

Passo 3

Para separar as variáveis, dividimos toda a expressão por X(x),T(t) (assumindo Xneq0 e Tneq0), obtendo
X''(x)X(x) ;-;T''(t)T(t) ;=; 0 Longrightarrow X''(x)X(x) ;=;T''(t)T(t)
Cada lado depende apenas de uma variável, então ambos devem ser iguais a uma constante de separação, que chamaremos de lambda.

Passo 4

Escolhendo
X''(x)X(x) = T''(t)T(t) = lambda,
obtemos dois EDOs independentes em x e em t.

Passo 5

As equações diferenciais ordinárias resultantes são
X''(x) - lambda,X(x) = 0, T''(t) - lambda,T(t) = 0
Em muitos problemas de contorno usa-se a escolha lambda = -k^2, o que leva a
X''(x) + k^2,X(x) = 0, T''(t) + k^2,T(t) = 0

Resposta

As EDOs obtidas pela separação de variáveis são
X''(x) - lambda,X(x) = 0, T''(t) - lambda,T(t) = 0
(ou, com lambda=-k^2,
X''(x) + k^2,X(x) = 0, T''(t) + k^2,T(t) = 0
).

Exercícios relacionados