Em cada um dos Problemas 1 a 32, resolva a equação diferencial dada. Se uma condição inicial for especificada, determine a solução que a satisfaz.
Passo 1
O enunciado pede para resolver a equação diferencial
. Esse é um problema de equações diferenciais de primeira ordem; vamos precisar verificar se é exata ou encontrar um fator integrante.
Passo 2
Primeiro, identificamos
e
. Calculamos
e
, que não são iguais, então não é exata diretamente.
Passo 3
Para tornar a equação exata, buscamos um fator integrante
dependente só de
. Usamos a condição
Logo, satisfaz
Passo 4
Multiplicamos a equação original por
, obtendo
$$
x(2y+1),dx + (x^2 - y),dy = 0.$$
Agora definimos e
, e checamos
, ou seja, é exata.
Agora definimos
Passo 5
Procuramos uma função potencial
tal que
e
. Integrando
em relação a
, obtemos
Diferenciando em relação a
Passo 6
A solução geral é dada pela condição de exatidão
, ou seja,
$$
yx^2 + \frac{x^2}{2} - \frac{y^2}{2} = C.$$