Em cada um dos Problemas 1 a 32, resolva a equação diferencial dada. Se uma condição inicial for especificada, determine a solução que a satisfaz.
(2 y+1) d x+(x^2-yx) d y=0

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial (2y+1),dx + x^2 - yx,dy = 0. Esse é um problema de equações diferenciais de primeira ordem; vamos precisar verificar se é exata ou encontrar um fator integrante.

Passo 2

Primeiro, identificamos M(x,y) = 2y+1 e N(x,y) = x^2 - yx. Calculamos partial Mpartial y = 2 e partial Npartial x = 1 + yx^2, que não são iguais, então não é exata diretamente.

Passo 3

Para tornar a equação exata, buscamos um fator integrante mu(x) dependente só de x. Usamos a condição
My - NxN = 2 - l(1 + yx^2r)x - yx = 1 - yx^2x^2 - yx = 1x
Logo, satisfaz mu'mu = 1x e portanto mu(x) = x.

Passo 4

Multiplicamos a equação original por mu(x)=x, obtendo
$$
x(2y+1),dx + (x^2 - y),dy = 0.$$
Agora definimos x(2y+1),dx + (x^2 - y),dy = 0 e M^* = 2xy + x, e checamos N^* = x^2 - y, ou seja, é exata.

Passo 5

Procuramos uma função potencial psi(x,y) tal que psix = M^* = 2xy + x e psiy = N^* = x^2 - y. Integrando psix em relação a x, obtemos
psi = integral (2xy + x),dx = yx^2 + x^22 + h(y)
Diferenciando em relação a y temos psiy = x^2 + h'(y), igualando a x^2 - y resulta em h'(y) = -y e h(y) = -y^22. Logo
psi(x,y) = yx^2 + x^22 - y^22

Passo 6

A solução geral é dada pela condição de exatidão psi(x,y) = C, ou seja,
$$
yx^2 + \frac{x^2}{2} - \frac{y^2}{2} = C.$$

Resposta

yx^2 + x^22 - y^22 = C

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