Em cada um dos Problemas 1 a 32, resolva a equação diferencial dada. Se uma condição inicial for especificada, determine a solução que a satisfaz.
x d y-y d x=(x y)^1 / 2 d x

Passo 1

O enunciado nos dá a equação diferencial
x,dy - y,dx = (xy)^1/2,dx
e pede a solução geral. O conteúdo é identificação de uma equação de primeira ordem que se torna separável após a substituição y= vx, com v=v(x).

Passo 2

Reescrevemos em forma explícita de derivada:
x,dydx - y = (xy)^1/2
Isolando dydx, temos
dydx = yx + raizxyx = yx + raizyx

Passo 3

Fazemos a substituição y = v x, logo dydx = v + x,dvdx. Substituindo em dydx = yx + raizyx, obtemos
v + x,dvdx = v + raizv,
de onde
x,dvdx = raizv

Passo 4

A equação em v é separável:
dvraizv = dxx
Integramos ambos os lados:
integral v^-1/2 dv = integral x^-1 dx Longrightarrow 2raizv = lnlvert xrvert + C,
onde C é constante de integração.

Passo 5

Voltando à variável original y, lembramos que v=yx. Assim,
2raizyx = lnlvert xrvert + C
Elevando ao quadrado e isolando y,
yx = (lnlvert xrvert + C)^24 Longrightarrow y = x4,(lnlvert xrvert + C)^2

Resposta

A solução geral da equação diferencial é
boxedy = x4,l(lnlvert xrvert + Cr)^2,
onde C é constante arbitrária.

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