Encontre a solução estacionária da equação do calor k^2 ux x=ut que satisfaz o conjunto dado de condições de contorno
ux(0, t)=0, u(L, t)=L,

Passo 1

O enunciado pede a solução estacionária da equação do calor
k^2,uxx=ut
isto é, uma solução u(x) que não dependa de t. Nesse caso temos ut=0 e a equação reduz-se a uma ODE em x. Vamos também usar as condições de contorno
;ux(0)=0 e ;u(L)=L.

Passo 2

Como ut=0, a equação fica
k^2,u''(x)=0
Dividindo por k^2 e integrando duas vezes em x, obtemos
u''(x)=0 Longrightarrow u'(x)=C1, u(x)=C1,x + C2,
onde C1 e C2 são constantes a determinar.

Passo 3

Aplicando a condição de contorno ;ux(0)=0, ou seja, u'(0)=0, temos
u'(x)=C1 Longrightarrow u'(0)=C1=0
Logo C1=0 e a forma da solução estacionária passa a ser
u(x)=C2

Passo 4

Agora usamos a condição ;u(L)=L. Como u(x)=C2 para todo x, em x=L vale
u(L)=C2=L
Portanto C2=L.

Resposta

A solução estacionária é
u(x)=L

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