É verdadeiro ou falso?
A EDP A partial^2 upartial x^2+B partial^2 upartial x partial y+C partial^2 upartial y^2+D partial upartial x+E partial upartial y+F u=0 é parabólica se e só se B^2-4 A C=0.

Passo 1

O enunciado nos dá uma equação diferencial parcial linear de segunda ordem,
A partial^2 upartial x^2 + B partial^2 upartial x partial y + C partial^2 upartial y^2 + D partial upartial x + E partial upartial y + F u = 0,
e pergunta se ela é do tipo parabólico exatamente quando B^2 - 4AC = 0. O conteúdo aqui é a classificação de PDEs de segunda ordem pelo discriminante dos termos de segunda derivada.

Passo 2

Para classificar uma PDE de segunda ordem, focamos apenas nos coeficientes A, B e C que multiplicam partial^2 u/partial x^2, partial^2 u/(partial xpartial y) e partial^2 u/partial y^2. Definimos o discriminante
De<a = B^2 - 4,A,C

Passo 3

A regra de classificação é:
De<a > 0 &Rightarrow hiperbólica, De<a = 0 &Rightarrow parabólica, De<a < 0 &Rightarrow elíptica óóí
Note que aqui usamos diretamente B no discriminante, sem o fator 2 (alguns autores escrevem 2b em vez de B, mas leva ao mesmo critério).

Passo 4

Logo, a PDE é parabólica se e somente se De<a = 0, ou seja, se e somente se
B^2 - 4,A,C = 0

Resposta

Verdadeiro.

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